Como ensinar plano cartesiano: entendendo algumas origens históricas

Publicado em 09/10/2020 por Luzia Kikuchi

Plano cartesiano é um dos primeiros conceitos de Geometria Analítica que aparecem em livros didáticos de Matemática. Normalmente, ele é trabalhado nos anos finais, entre 8º e 9º ano do Ensino Fundamental.

No post sobre arte e lógica, eu havia comentado que o nonogram poderia ser uma ótima forma de introduzir o conceito de plano cartesiano para os estudantes. Além dele, citei também as planilhas do Excel, diagramas de ponto cruz, batalha naval entre outros, que você pode consultar nesse mesmo post.

Porém, é preciso esclarecer que, trabalhar com essas soluções didáticas seria para reforçar o conceito de coordenadas, que costuma ser a dúvida de muitos estudantes. Afinal de contas, não é fácil compreender por que o eixo x chama-se abscissa e o eixo y de ordenada ou por que na notação de coordenada começa-se sempre pelo eixo horizontal e não pelo vertical.

Muitas vezes, as atividades envolvendo plano cartesiano limitam-se a apresentar muitas notações algébricas e interpretação de gráficos, mas com poucas atividades lúdicas de transição para ajudar na compreensão dos conceitos. E ensinar apenas as notações, sem um mínimo de contextualização, só reforça o estereótipo de que a matemática é muito arbitrária* e que é dependente de intensa memorização de conceitos.

* a palavra “arbitrária” pode ter diversos sentidos, mas aqui estou utilizando com o significado de que segue uma norma própria estabelecida por outra pessoa e não tem fundamentação lógica.

Podemos dizer que, em partes, a Matemática é apresentada dessa forma por conta do processo de didatização desses conteúdos que foram escolhidos para serem ensinados nos livros escolares. Isto é, inicialmente, parecia ser “mais fácil” trabalhar apenas com o produto final das notações, por meio de algoritmos, sem considerar todo o processo envolvido na construção do plano cartesiano. Porém, isso teve um preço: uma imensa quantidade de alunos que não compreendem os conceitos de coordenadas, equações, gráficos e funções. Isso não afeta apenas a compreensão dos tópicos em Matemática, mas como de outras áreas afins como Física e Química, principalmente.

Porém, mudar esse processo didático também não é uma tarefa tão simples, pois é necessário recorrer a conhecimentos de história da Matemática e também de tempo e disponibilidade para trabalhar com tarefas que ajudem a construir o conceito de plano cartesiano contextualizado à realidade atual do aluno. Neste post, darei algumas sugestões de como fazer isso.

De onde vem o conceito de plano cartesiano?

O crédito pela notação do sistema cartesiano, é dado a René Descartes, filósofo e matemático francês, do século XVII. Inclusive o plano cartesiano deriva de seu nome. 

Embora Descartes tenha sido responsável por unir a Álgebra com a Geometria, fazendo nascer assim o conceito de Geometria Analítica como conhecemos hoje, segundo o livro “História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas” de Tatiana Roque, alguns registros históricos mostram que as ideias primitivas de plano cartesiano podem ser vistas no trabalho de Nicolas Oresme, no século XIV. No entanto, diferente do sistema cartesiano, os diagramas feitos por Oresme não apresentam uma correlação algébrica para sua interpretação, ainda que essas representações trabalhassem, de certa forma, com grandezas envolvendo movimento (ROQUE, 2012). E essa interpretação de Oresme é uma consequência do pensamento pertencente à época, na qual a grandeza era vista de forma qualitativa e não quantitativa. Desse modo, segundo Tatiana Roque, o pensamento de Oresme também envolve uma questão filosófica que vai muito além de trabalhar apenas com grandezas da forma como vemos em Física ou em Matemática, nos dias de hoje.

De onde surgiram os nomes coordenadas, abscissa e ordenadas?

Essas nomenclaturas não foram definidas por Descartes, mas por Leibniz em 1692, segundo o livro de Howard Eves: “Introdução à História da Matemática”. Quanto ao significado das palavras abscissa ordenada já é um pouco mais difícil de remontar a origem do significado, já que nos livros de história da matemática que consultei, quase não há alguma menção nesse mérito.

No entanto, a explicação mais próxima que encontrei para compreender o significado dessas palavras foi procurando a etimologia* delas. Muito provavelmente, vem do Latim, sendo que abscissa significa “parte de uma linha” na qual nomeamos o eixo na horizontal. Já a ordenada algo próximo a “linhas empilhadas” que corresponde ao eixo na vertical. Verificando o significado dessas palavras em latim, esses nomes começam a fazer um pouco mais de sentido.

*etimologia é uma área da gramática que estuda a origem das palavras.

E por que abscissa também é chamada de eixo x e ordenada de eixo y?

Bom, isso já se deve à forma como Descartes deu nome aos valores desconhecidos de uma equação com as últimas letras do alfabeto (x, y, z). E como uma de suas propostas era transformar operações algébricas para linguagem geométrica, muito provavelmente esse deve ser o fator que influenciou a convenção da nomenclatura para coordenadas (x, y). Não vou entrar no mérito da demonstração que Descartes fez em seu livro La géométrie, mas, se vocês quiserem ler mais a respeito, recomendo consultar o livro “História da Matemática” de Carl Boyer.

Por que a letra x é frequentemente usada para representar valores desconhecidos?

Descartes também foi o responsável por sistematizar as últimas letras do alfabeto para representar as variáveis ou valores desconhecidos em Matemática. Porém, essa sistematização parece vir muito mais do acaso do que uma escolha deliberada por parte do matemático.

Segundo o livro “Unknown Quantity: a real and imaginary History of Algebra” de John Derbyshire, há uma menção de um trecho do livro “Classic Math”, escrito por Art Johnson, sobre o motivo pelo qual a letra é comumente usada para representar variáveis ou valores desconhecidos. Segundo Art Johnson, quando Descartes enviou o seu manuscrito de La géométrie para impressão, a impressora estava com limitação para imprimir as últimas letras do alfabeto: xy e z. O editor então perguntou a Descartes se haveria qualquer problema em substituir algumas daquelas letras que ele havia usado para representar os valores desconhecidos em suas equações. O matemático respondeu que não e, assim, o editor optou por substituir boa parte dos valores desconhecidos por já que as letras e zsão mais usadas no vocabulário francês do que a letra x. E assim, a letra x tornou-se padrão para representar um valor desconhecido.

Compreendendo inicialmente essa parte histórica da matemática, principalmente, em relação às nomenclaturas, agora vamos para a sugestão de algumas atividades que podem ser feitas como forma de aproximar o contexto do uso de coordenadas na vida real.

Uso de mapas para localização de pontos

No cotidiano, o principal uso de coordenadas está na forma de se localizar em um mapa. Antigamente, para consultar um endereço em um mapa impresso, era necessário utilizar um conhecimento de coordenadas no qual o endereço era localizado em uma coordenada, formada por uma letra e número, para ser consultado em uma determinada página do mapa. Essa era uma forma de contextualizar um conceito de coordenadas para os estudantes na prática. No entanto, já nos dias de hoje, com modernos sistemas de mapas digitais, esse exemplo se tornou arcaico e poucos estudantes podem entender essa tentativa de contextualização, que pode ser tão longe quanto um problema fictício apresentado em um livro didático.

Porém, outra forma de construir esse contexto seria motivar os estudantes a construir os próprios mapas para caminhos relativamente familiares, por exemplo, como o trajeto feito todo dia da casa para a escola ou vice-versa. E essa foi uma das atividades propostas na tese de doutorado de Afrânio Austregésilo Thiel, defendida na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) em 2013.

A atividade em questão foi proposta para uma turma de 9º ano do Ensino Fundamental para introduzir o conceito de plano cartesiano aos alunos. O objetivo principal dessa atividade é familiarizar o estudante com diferentes tipos de representações de uma localização: seja por desenhos, por linguagem natural (a escrita) para posteriormente apresentar uma nova possibilidade como gráficos e notações algébricas.

Um exemplo dessa representação seria algo desse tipo:

Exemplo de um mapa fictício representando o caminho de casa até a escola por desenhos.
Crédito da imagem: desenho próprio.

Se o estudante fosse explicar esse trajeto em linguagem natural, poderia ser algo desse tipo:

“Para chegar da minha casa até a escola, é preciso chegar até a primeira esquina, virar à direita e em seguida à esquerda”.

Obviamente, esse recurso linguístico pode variar de aluno para aluno, de acordo com representações do próprio mapa.

Posteriormente, é possível imprimir um mapa local em uma folha quadriculada e pedir para que os estudantes localizem a sua casa e a escola com uma marcação X de cores diferentes. Depois, orientando-se pelas retas da própria malha quadriculada, construir duas retas que têm um ponto em comum e que formam um ângulo de 90º (perpendicular). Essas retas perpendiculares entre si serviriam como eixo de referência para medir as respectivas distâncias entre um ponto e outro marcado no mapa, iniciando uma orientação de plano cartesiano.

Exemplo de um mapa impresso numa folha quadriculada.
Créditos: Google Maps.

No próximo passo, é importante que os estudantes façam a discussão entre eles para resolver qual seria a melhor forma de fazer as marcações nesse eixo construído como referência para poder medir a distância a partir dele.

Se você quiser continuar a ver os próximos passos das atividades, que é bastante extenso, recomendo ler diretamente na tese de Thiel (2013).

Essas são algumas formas de introduzir o conceito de plano cartesiano, sem necessariamente recorrer diretamente na representação formal do plano, das representações gráficas e da linguagem algébrica. Esses dois últimos em especial, é a forma como costumeiramente é apresentada nos livros didáticos, mas, para quem já teve a experiência de dar aula sobre esse conteúdo, nem sempre é frutífera. Por isso, mais do que o resultado imediato em si, enquanto professor, é importante apresentar outros métodos. 

Alguns estudantes poderão estar mais interessados na parte histórica e talvez queiram ler mais sobre a história de Descartes, outros já poderão ficar interessados em estudar cartografia e suas relações. Poderão ter ainda aqueles que pensem em encontrar soluções digitais para construção de mapas entre outras. O aprendizado se dá por estímulos diversos, por isso, é importante apresentar opções e respeitar as preferências pessoais. Além disso, a aprendizagem não ocorre necessariamente focando apenas na memorização de conteúdos, mas no processo de saber utilizar melhor as suas competências e habilidades para lidar com problemas do dia a dia.

A história de Armação dos Búzios: uma cidade antiga dos tempos do descobrimento do Brasil

Publicado em 25/09/2020 por Luzia Kikuchi

Quando eu estava no Ensino Fundamental, aprender história e geografia era um tanto “surreal”. Por falta de experiência de vida, eu não conhecia tantos lugares e também não tinha oportunidade de viajar para tantos locais para conhecer o relevo, o clima e a história de uma região. Portanto, meus conhecimentos históricos e geográficos limitavam-se a uma memorização mecânica de informações de um livro didático para serem reproduzidos em uma avaliação e, com isso, garantir uma nota com o objetivo de obter a aprovação no final do ano. Os conteúdos pareciam vazios de significado, como se aquilo não fizesse parte do meu cotidiano.

Porém, depois de muitos anos, quando comecei a ter mais chances de viajar com frequência e conhecer lugares inimagináveis em minha infância, estudar e conhecer um pouco mais sobre a história e a geografia de um lugar passou a ser uma atividade essencial e muito agradável. A cada lugar novo que conheço, parece fazer mais sentido associar os eventos históricos e naturais. Dessa forma, tenho escolhido lugares não apenas para turistar, mas também para aprender um pouco sobre aquele local.

E neste post vou contar um pouco sobre uma cidade que conheci recentemente: Armação dos Búzios, no Rio de Janeiro.

Armação dos Búzios, ou simplesmente Búzios, é uma cidade localizada na Região dos Lagos, no litoral norte do estado do Rio de Janeiro, a cerca de 165 km da capital fluminense. Juntamente com Cabo Frio e Arraial do Cabo, é um destino muito procurado pela beleza de suas praias. (Especialmente em Cabo Frio e Arraial do Cabo, a cor da areia e do mar se assemelham muito às praias do Caribe).

A história que vou contar a seguir é baseada nos relatos encontrados no site Rio de Janeiro Aqui.

Os navegadores portugueses parecem ter passado brevemente por essa região em 1502, mas foi só pelo século XVII e XVIII que ela foi ocupada de forma definitiva, com a expulsão definitiva dos corsários franceses que haviam tentado ocupar inicialmente a Baía de Guanabara ou a atual cidade do Rio de Janeiro.

Até a metade do século XIX, a principal atividade econômica de Búzios foi a pesca de baleias. Aparentemente, nesses tempos remotos, esses animais eram frequentemente vistos na região. Além disso, o nome “Armação” se deve a uma instalação feita na praia para pesca e extração da carne e óleo da baleia. Inclusive, o local onde os ossos dessas baleias eram depositados, após a extração da matéria-prima, chama-se Praia dos Ossos até hoje. Com o desaparecimento das baleias por essa região, os moradores da cidade passaram a viver da pesca.

Assim, até por volta de 1940, Búzios era apenas um pequeno vilarejo de pescadores, distribuídos principalmente na praia do Canto até a praia da Armação. Algumas casas construídas no século XVIII ainda podem ser vistas na Rua das Pedras, em frente a orla da praia da Armação. E no final desta rua, existe até hoje a igreja de Sant’Anna que foi erguida em 1740.

Porém, foi em 1964 que essa cidade foi revelada ao mundo, com a visita da atriz francesa Brigitte Bardot. Por ser um local desconhecido por muitos, e afastado da badalada capital fluminense, Brigitte pode passear tranquilamente sem ser importunada por fotógrafos a todo momento. Já em 1999, a cidade de Búzios decidiu homenageá-la construindo uma estátua de bronze localizada num trecho da praia da Armação que foi batizada com o nome de “Orla Bardot”.

Mas, antes mesmo da visita de Brigitte, na década de 50, essa orla já era frequentada por outra pessoa muito conhecida pelos brasileiros: o ex-presidente Juscelino Kubitschek (JK).

Assim como Brigitte, JK também recebeu sua homenagem pela cidade e em 2006 foi construída uma estátua em sua homenagem, que se localiza igualmente na Orla Bardot.

Segundo relatos, JK costumava se hospedar em uma pousada chamada “Solar do Peixe Vivo” que ficava logo atrás de onde está o monumento dele. A construção existe até hoje e foi tombada como patrimônio histórico da cidade, porém, em seu lugar, funcionou por um tempo o restaurante Sollar que passou a se chamar “do Jeito Buziano”, mas este também aparentemente não funciona mais aqui e o imóvel encontra-se desocupado.

O que eu notei é que a cidade tem um certo “apreço” por estátuas de bronze! Além de Brigitte e JK, existe também uma estátua que fica no meio do mar chamada “Três Pescadores”, em homenagem aos pescadores de Búzios. A obra foi encomendada pela prefeitura, patrocinada pela VISA e inaugurada no ano 2000. Quando a maré está baixa, é possível caminhar até a estátua. A obra é tão bem-feita e realística que, de longe, dá até para se confundir com pescadores trabalhando no meio da praia! rs 

Essa estátua também fica na Orla Bardot, em frente ao monumento de JK. Se você se posicionar no mesmo ângulo de visão do ex-presidente, dá até a impressão que ele está observando os três pescadores.

Com a revelação dessa cidade ao mundo, Búzios foi cada vez mais ocupada por estrangeiros e pessoas com grande poder aquisitivo que construíram mansões e casas de veraneio. É interessante notar que um dos principais estrangeiros que ocuparam o local foram os argentinos na década de 70, em busca de qualidade de vida*, e que até hoje podem ser notados com bastante frequência na população buziana.  

* Caso queira saber mais sobre esse aspecto, pode ler este artigo de Harguindeguy (2007).

Com a popularização do turismo na região, Búzios que fazia parte do município de Cabo Frio, até então, obteve a sua emancipação em 1996. E apesar de contar com uma população relativamente pequena de 30.000 habitantes, a cidade chega a receber 1 milhão e meio de turistas no ano, sendo considerado um dos destinos mais luxuosos da região dos Lagos. Porém, como fiz a visita em tempos de pandemia, a cidade está atualmente com o acesso autorizado apenas para moradores e hóspedes com reserva em hospedagem da cidade (isso significa que não é possível fazer uma visita de “bate-volta” das cidades vizinhas). Por conta disso, os preços nos dias úteis estavam bem acessíveis, levando em consideração que é uma cidade tipicamente turística. No entanto, nos finais de semana, os preços dos restaurantes à beira mar parecem ficar mais caros, devido ao aumento de movimentação de clientes que frequentam as praias.

Uma coisa bem peculiar que notei em Búzios é em relação à vegetação costeira. Em São Paulo e mais ao Sul do Brasil (que é onde tenho mais familiaridade), estamos acostumados a ver a vegetação de Mata Atlântica, que são árvores frondosas, altas e de mata bem fechada. Já em Búzios, em alguns trechos, é possível notar a vegetação de caatinga, que é mais comum em regiões semiáridas, mais afastadas do mar. Algo um pouco contra intuitivo do que costumamos aprender de forma geral em Geografia.

Observe a presença de cactos na costa na praia de João Fernandinho em Búzios.
Crédito da imagem: acervo pessoal.
Compare com a vegetação de Mata Atlântica na praia de Toninhas em Ubatuba.
Crédito da imagem: acervo pessoal.

Procurei a respeito do clima e vegetação dessa Região dos Lagos e encontrei um artigo publicado, em 2007, na Revista Tamoios da UERJ pela Heloísa Coe e outros autores. Nele é explicado que essa peculiaridade ecológica da região é devido a um fenômeno chamado ressurgência que resulta no resfriamento da temperatura superficial da água em determinadas épocas do ano, especialmente entre a primavera e o verão, tornando essa região mais seca do que o restante do litoral costeiro do Rio de Janeiro. 

Por conta também desse fenômeno, as águas da Região dos Lagos costumam ser mais geladas comparadas às outras praias do Rio. Além disso, diferente da capital fluminense e também do litoral de São Paulo que costuma ter um clima bastante quente e úmido, em Búzios, o vento seco ajuda a amenizar os dias de calor.

E qual seria a vantagem de saber sobre essas informações geográficas? Por ser uma região mais seca, a Região dos Lagos, que compreende – além de Búzios – os municípios de Cabo Frio, Arraial do Cabo, Iguaba, São Pedro da Aldeia e Araruama, é um lugar que chove muito pouco. Diferente do litoral norte de São Paulo, como Ubatuba, que costuma chover com bastante frequência. Isso significa que você poderá aproveitar melhor a praia em quase qualquer época do ano. A única desvantagem é que, conforme explicado pelo fenômeno das ressurgências, as águas são mais frias. Como não sou geógrafa, limito-me a explicar de forma bem superficial sobre tais fenômenos e ocorrências ecológicas dessa região. Mas, se vocês quiserem saber mais a respeito, podem ler o artigo da Heloísa Coe e outros, citado anteriormente.

Ficou curioso ou curiosa para conhecer Armação dos Búzios? A seguir estão algumas dicas de como chegar e aproveitar melhor a cidade.

Como chegar em Búzios?

*Há duas formas principais para chegar em Búzios: via terrestre (carro ou ônibus) ou via aérea. O mais comum é a via terrestre. Porém, na situação atual de pandemia, a única opção para chegar em Búzios é de carro, já que a entrada na cidade está sendo controlada e permitida apenas para moradores e hóspedes com reserva. Por isso, entrada de ônibus e excursões de um dia estão proibidas no momento. Para quem é hóspede, no momento da reserva, é gerado um QR Code para ser apresentado aos guardas que controlam o acesso na entrada da cidade. Este código só tem validade de 24 horas, sendo necessário a emissão de um novo se precisar sair e voltar nos dias seguintes.

*Lembrando que essas informações podem mudar a qualquer momento, já que a situação da pandemia está constantemente em atualização.

A opção de via aérea já é um pouco mais recente e, por enquanto, limitada para duas cidades: de São Paulo, pelo aeroporto de Guarulhos (GRU), e de Belo Horizonte, pelo aeroporto de Confins (CNF), respectivamente atendida pelas companhias aéreas Gol e Azul. O aeroporto fica na cidade vizinha, em Cabo Frio (cerca de 30 km de Búzios). Por conta da pandemia, os voos foram suspensos e sem uma data prevista para retorno. Porém, segundo informação de um jornal local, voos partindo de Guarulhos seriam retomados a partir de 04/09/2020, para aquelas que quiseram aproveitar o feriado do dia 07 de Setembro. O preço para ida e volta estimado para essa data foi de R$ 277,65, mas é possível que o preço médio varie, depois que a situação se normalizar. Não consegui localizar voos futuros nem pelo site da empresa e nem pelo Google Flights para ter uma noção dos preços.

Normalmente, costumo viajar de transporte público, mas para manter as medidas de prevenção de isolamento social e por conta da limitação de entrada na cidade de Búzios, optamos por sair de São Paulo (capital) direto de carro, com parada na cidade do Rio de Janeiro somente para abastecimento de combustível e pegar um lanche para continuar viagem. A distância total foi de 628 km.

A hospedagem foi feita pelo Airbnb, em um apartamento localizado em frente à praia da Armação que fica a 2 km do centrinho comercial de Búzios.

Como é andar de carro na cidade do Rio de Janeiro?

Para quem é de fora do Rio, sempre há um receio de andar de carro por conta dos frequentes relatos de violência nos noticiários. Nosso trajeto foi feito seguido toda Rodovia Presidente Dutra, entrando na cidade pela Avenida Brasil para chegar até a Avenida Presidente Vargas, em frente à estação Central do Brasil, onde abastecemos o carro.

A duração média de uma viagem da capital paulista até a capital fluminense, é de 6h e meia. Porém, por conta de um acidente na Serra das Araras (continuação da via Dutra onde começa a serra para chegar na baixada fluminense), levamos 4 horas a mais do previsto e acabamos levando um pouco mais de 10 horas para chegar até o posto.

O que percebemos é que a Avenida Brasil, pelo menos fora do horário de pico, aproximadamente às 15 h, é bem movimentada e não tem congestionamento. Na volta, viemos pela Linha Vermelha (Via Expressa Presidente João Goulart), passando por volta das 11h da manhã e também não havia trânsito e o fluxo era bem movimentado.

Segundo relatos, tanto a Avenida Brasil quanto a Linha Vermelha são bastante conhecidas pelos assaltos do tipo “arrastões” nos horários de congestionamento e de abordagens à mão armada, no horário de pouco fluxo. Novamente, eu não moro no Rio, então não sei o quanto esse tipo de incidente é frequente, mas é bom ter cautela como em qualquer outra cidade grande urbana. Na nossa experiência, a viagem foi bem tranquila. Mas o fato de termos passado pelas vias por volta das 15h e 11h da manhã, respectivamente, pode ser uma dica para quem pretende seguir viagem.

Uma coisa que é realmente inconveniente para andar de carro na cidade do Rio de Janeiro é o estacionamento. Eles são escassos e caríssimos, chegando a custar R$ 14,00 a hora com acréscimo de R$ 8,00, sucessivamente, por hora adicional. Uma diária pode custar facilmente em torno de R$ 50,00. Por isso, se puder, prefira ir de transporte público para economizar.

Depois de sair da cidade do Rio de Janeiro, para seguir viagem à Búzios, é necessário pegar a ponte Rio-Niterói. Não recomendo pegá-la no horário de pico como pegamos (entre 18h e 20h – sentido Niterói), pois é quando muitos que trabalham na capital e moram fora da cidade estão retornando.

Passando a ponte Rio-Niterói, basta seguir a BR-101 (conhecida popularmente como Rio-Vitória) até a altura de Rio Bonito para depois pegar a Via Lagos ou RJ-124 até Búzios. O percurso durou 4h desde a saída do posto onde abastecemos o carro no centro do Rio, por conta do congestionamento na ponte Rio Niterói. Porém, na volta, levamos por volta de 3h, com trânsito tranquilo.

As rodovias que passamos, em geral, são bem conservadas, duplicadas e iluminadas em boa parte dos trechos, principalmente nas áreas que cruzam cidades. Somente quando já está próxima da entrada de Búzios, na RJ-106 (Rodovia Ernani do Amaral Peixoto), que a estrada vira uma pista simples (uma para cada sentido) e a noite fica bem escura para transitar, pois não tem iluminação pública. Em alguns trechos, inclusive, não havia faixas de divisão das vias. Porém, como reparei que estavam em obras, é possível que tenha sido apagado após o recapeamento da pista e ainda não haviam pintado. Durante o dia essa via é bem tranquila, mas se for transitar a noite, redobre a atenção.

O que fazer em Búzios?

Depois que chegar em Búzios, boa parte das atrações principais podem ser feitas a pé, principalmente, se você se hospedar perto do centrinho da cidade na Rua das Pedras. Lá você pode encontrar lojas de roupa, mercadinhos, lembrancinhas, restaurantes, cafés e drogarias. Nesse centrinho passamos apenas em dois lugares: no Big Dogs, que servem cachorros-quentes com combinações de ingredientes mais usados na Argentina, como o chimmichurri, e ficam deliciosos. E o Maria Maria Café, que é uma cafeteria de frente para a praia do Canto, bem simpática, que tem uma boa variedade de café, quentes e gelados, doces e tortas salgadas. Há também um curso de barista para quem tiver interesse.

Dizem que Búzios, comparada a outras praias da Região dos Lagos, possui hospedagens mais caras em alta temporada. No nosso caso, como a cidade estava com entrada limitada de visitantes, encontramos um preço bem acessível para uma hospedagem em frente à praia, com uma diária de R$ 250 para duas pessoas. Não estava incluso o café da manhã, mas como o quarto já vinha equipado com cozinha e geladeira, foi possível comprar algumas coisas do mercado, o que ajuda a economizar também. Sem contar que era possível tomar café na varanda olhando para o mar!

Vista do entardecer da varanda onde ficamos hospedados.
Crédito da imagem: acervo pessoal.

Minha sugestão de passeio, depois de andar pelo centrinho de Búzios, é seguir a Rua das Pedras* no sentido da Orla Bardot, na Praia da Armação, que é onde se encontram as três estátuas que citei anteriormente: da Brigitte, do JK, respectivamente, e dos Três Pescadores quando você olha para o mar a partir da estátua do JK.

* A Rua das Pedras muda de nome no sentido Orla Bardot quando você vir no mapa. Ela chama-se Av. José Bento Ribeiro Dantas. Porém, para perguntar aos locais, dificilmente eles saberão por esse nome. Mais fácil falar da Rua das Pedras, quando estiver no centrinho e Orla Bardot, se estiver no outro sentido.

Nessa rua também existem vários restaurantes mais charmosos como o Madame Bardot, com mesas à beira mar. Seguindo ainda a orla, já perto do final dela, há uma hamburgueria chamada Porto Brew que serve sanduíches e cerveja artesanal. Comi duas vezes lá e vale a pena o custo benefício. Um sanduíche, acompanhado de uma pequena porção (batata frita, doce ou anéis de cebola) com um molho a sua escolha sai R$ 25. Um chopp custa em média de R$ 12 a R$ 15. Já no happy hour (nessa época era das 17h às 19h) dois chopps saiam por R$ 15.

Se você olhar para o mar, na altura do Porto Brew, há um cais escrito Porto Veleiro, que também tem um restaurante. Provavelmente, é daqui que saem os passeios guiados de barco para outras praias da região, mas como a prefeitura não liberou esse serviço, por conta da pandemia, apenas o restaurante estava funcionando. Pedimos um prato executivo que estava R$ 25 por pessoa que acompanha arroz, pirão e salada. Estava delicioso e o prato é bem servido! O diferencial deste lugar é almoçar no cais à beira mar. O único inconveniente é que venta muito e seus guardanapos e chapéus podem voar se você não se cuidar.

Bom, continuando no sentido que você estava vindo do centro, vai se deparar com uma bifurcação: se seguir à esquerda, chegará na Igreja de Sant’anna (construção de 1740). Há um portão na entrada, mas ele é aberto aos visitantes. A igreja estava fechada quando passei por lá, mas você pode aproveitar o caminho para sair do outro lado e chegar na Praia dos Ossos. A orla dela é bem pequena, mas, daqui é possível também pegar barco táxi para chegar a algumas praias principais de Búzios. Inclusive você pode ir até o centrinho de barco a partir daqui, se não quiser caminhar os 2 km de orla. A passagem custa em torno de R$ 10. 

E, se continuar andando na orla dela até o fim, terá uma rua íngreme que dá acesso à praia Azeda e Azedinha. Para acessar a primeira, você deve seguir essa ladeira até o fim quando encontrará uma viela que dá acesso a uma escada de madeira do lado esquerdo. Descendo-a você chegará na praia Azeda. Se continuar andando pela orla, no canto, próxima à costa, encontrará a praia Azedinha. Essa praia também é bem pequena, mas tem as ondas mais calmas e adequada para crianças e também para prática de snorkel (mergulho em águas rasas).

Agora, se naquela bifurcação anterior, decidir seguir à direita, é possível encontrar vários restaurantes, cafés e lojinhas com um preço mais em conta do que no centrinho. Então, se quiser economizar um pouquinho, vale a pena procurar nessa região. Eu recomendo o Café Nina para tomar um café e comer variados tipos de bolos e tortas ou o Sukao Bar onde há muitas variedades de suco natural.

E se você continuar em frente nessa rua, vai passar um pequeno lago chamado Lagoa dos Ossos e mais à frente, perto do cruzamento com uma rua principal, do lado direito, nos finais de semana, há passeios de bugs sendo oferecido a um preço de R$ 50 por pessoa. Também existe um estacionamento* com preço único de R$ 20 a diária.

*Lembrando que em Búzios, estacionar na rua, principalmente onde as guias estão pintadas de azul, exigem a utilização do tíquete zona azul. E você precisa pagar no momento da chegada. Nós vimos vários carros sendo multados porque as pessoas estavam esquecendo de fazer isso. Para mais informações clique aqui.

Chegando nesse cruzamento, se você seguir à esquerda, até o fim da rua, vai chegar na praia João Fernandes. Lá tem vários restaurantes e barzinhos à beira mar. Porém, como passamos lá no final de semana, o preço já estava mais “salgado”. Uma porção ou prato custava em torno de R$ 70,00 por pessoa e uma água custava R$ 8,00. Não sei se eles mudam o preço durante a semana, como em alguns restaurantes que vi na Orla Bardot.

A praia João Fernandes é bonita, mas o mar é bastante agitado. Então, se quiser águas mais tranquilas vá para a praia ao lado chamada João Fernandinho. Para chegar lá, se a maré estiver baixa, você pode caminhar toda orla da João Fernandes e atravessar umas pedras. Mas, o recomendado é ir pela rua paralela à orla até chegar em uma escadaria bem pavimentada de concreto.

João Fernandinho é uma praia mais reservada e existe um pequeno bar e restaurante que, no horário que chegamos, ainda estava fechado. As águas são praticamente sem onda, então é melhor para levar crianças, mas esteja alerta, pois ela afunda um pouco conforme avança para o mar.

Existem outras praias como a Tartaruga, Ferradura, Ferradurinha, Forno e Manguinhos. Mas, não tivemos tempo de passar por todas elas.

Acho que as imagens falam por si só. Então, se você quiser conhecer um pouco de Búzios, assista ao vídeo que produzi que mostra apenas imagens de alguns lugares que passamos por lá.

Se você ficou com alguma dúvida ou queira contribuir com alguma informação que não citei neste post, fique à vontade para deixar nos comentários!

Como desenhar usando a lógica

E como adaptar esse jogo para familiarizar-se com o plano cartesiano

Publicado em 15/05/2020 por Luzia Kikuchi

Uma das coisas que eu sempre tive pavor na escola é a aula de Educação Artística. E não porque a aula era ruim, mas por minha falta de habilidade mesmo. Só me dava bem quando as atividades tinham passo a passo bem definido. Nos momentos que a professora dizia:

“Hoje é desenho livre!”

Essas quatro palavras ecoavam em minha cabeça como “prova surpresa!”. Um pavor instaurava-se dentro de mim, o sangue do rosto rapidamente caía e não fazia ideia do que fazer. Acredite: eu preferia resolver problemas de matemática a fazer desenho livre. Normalmente, meus desenhos limitavam-se a uma casinha ou a um desenho de praia com um triste coqueiro ao lado.

Eu não sei exatamente a partir de qual momento que perdi o interesse ou a afinidade com desenho. Já que, segundo a minha mãe, eu sempre gostei muito de desenhar quando criança. Por outro lado, meu irmão sempre foi muito talentoso para esse lado artístico, mas nunca ligou muito para as Ciências Exatas, ao contrário de mim.

Se pensarmos por um lado, desenhar também tem o seu lado abstrato como as incógnitas e variáveis em Matemática. Então, será que haveria alguma forma de criar um algoritmo para um desenho como nos problemas matemáticos?

Para minha surpresa, existe. Claro que é um desenho mais simples, em formato de pixels (parecido com o conceito de Lego ou Minecraft), mas que pode ser uma forma de unir as habilidades daquele seu amigo ou amiga que ama desenhar com a sua que adora resolver problemas de lógica ou vice-versa.

Este jogo chama-se nonogram que consiste em uma imagem formada ao pintar quadradinhos indicados por uma sequência de números em um diagrama, como este:

Figura 1 – Exemplo de um nonogram.
Crédito da imagem: acervo pessoal.

Como funciona o jogo:

  1. Para cada linha e coluna, há uma sequência de quadradinhos a serem pintados de acordo com o número indicado em cada uma delas.
  2. Se um quadradinho já estiver pintado, você precisa completar de onde ele está:
Figura 3 – Pinto os quadradinhos restantes.
  1. Quando há mais de um número indicado na linha ou coluna, você precisa deixar pelo menos um quadradinho em branco entre eles, e sempre exatamente na ordem em que aparecem.
Figura 4 – Exemplo de como pintar a indicação de dois números.

Combinando a contagem entre linhas e colunas:

Observe agora o seguinte exemplo com linhas e colunas pintadas de acordo com a sequência indicada:

Figura 5 – Exemplo de um desenho de uma tartaruga

E como vou jogar isso?

  • Mínimo em 2 pessoas:
  1. Primeiro pegue um papel quadriculado e combine entre vocês qual deve ser o tamanho do diagrama que vão criar (número de linhas e colunas).
  2. Decida quem vai ser a pessoa que vai desenhar no quadriculado (jogador 1) enquanto a outra (jogador 2) deve reproduzi-lo usando apenas a lógica.
  3. Assim que o jogador 1 terminar de desenhar, ele deve montar um outro diagrama de tamanho igual, sem o desenho, mas indicando apenas os números que cada linha e coluna devem ser pintados, como demonstrado na figura 5.
  4. O jogador 2 recebe um diagrama semelhante à figura 1 do jogador 2 e tenta reproduzir o desenho usando a lógica explicada nas instruções anteriores.

Dicas: 

  • Tente desenhar com larguras e comprimentos iguais no início, pois figuras simétricas são sempre mais fáceis de desenhar.
  • Evite figuras com símbolos muito abstratos ou com apenas 1 quadrado em cada aresta, pois corre o risco de criar figuras ambíguas, portanto, com mais de uma solução.
  • Também evite figuras muito óbvias (crucifixo, por exemplo), pois isso acaba com o desafio lógico.

Conforme você se acostuma, pode aumentar a dificuldade, aumentando o tamanho do quadriculado e chegar em um parecido com este, por exemplo:

Crédito da imagem: Wikipedia

Viu só! Até quem não tem habilidades artísticas pode reproduzir desenhos usando a lógica! 😂

Se você não tiver uma folha quadriculada em casa, mas tiverem impressora, pode imprimir o modelo que deixei pronto no Excel. A priori deixei pronto um tamanho de 30 colunas e 50 linhas, mas você pode recortar o excedente ou aumentar conforme necessário (só não se esqueça do tamanho dos limites de impressão configurada em sua impressora).

Se você quiser jogar a versão online indico o nonograms.org que tem muitos quebra-cabeças de vários níveis (inclusive na versão colorida). Se for para jogar no tablet ou no celular o nonogram.com está disponível tanto para Android quanto para o iPhone.

Como posso utilizar esse jogo para introduzir/familiarizar-se com a ideia de plano cartesiano?

Normalmente, nos *anos finais do Ensino Fundamental, os estudantes começam a trabalhar com o sistema de coordenadas que é um pré-requisito para compreender o conteúdo de Geometria Analítica no Ensino Médio. No entanto, muitos têm dificuldade em entender o plano na representação matemática (eixo x, eixo y, abscissa e ordenada, par ordenado, etc.).

* Embora a BNCC (Base Nacional Comum Curricular) indique que o plano cartesiano deve ser introduzido já no 5º ano do Ensino Fundamental, na prática, a compreensão do sistema de coordenadas ocorre nos anos finais dessa faixa de ensino.

Por isso, aplicando esse jogo, conforme foi sugerido neste texto, mas na ordem reversa: desenhar primeiro e depois montar um plano com a sequência numérica, para que outra pessoa possa reproduzir o seu desenho, pode facilitar a compreensão do plano cartesiano sem a utilização da nomenclatura matemática que é um fator que cria muita aversão nos estudantes.

Por que isso pode ajudar na aprendizagem?

Nosso cérebro tem a capacidade de focalizar a atenção de forma involuntária e voluntária. No primeiro aspecto, seriam as necessidades fisiológicas, por exemplo, quando sentimos fome ou sede. Já na forma voluntária é quando você escolhe para onde voltar a sua atenção, por exemplo, para escutar uma música, para escrever ou para executar alguma atividade.

Portanto, quando o indivíduo está ativamente tentando construir esse diagrama do jogo, inconscientemente, ele está associando a ideia de eixos, coordenadas, mas sem a conotação matemática de forma inicial. Diferentemente de quando ele é apresentado ao plano cartesiano, muitas vezes de forma passiva, com explicação expositiva do professor, tornando a associação dos conceitos mais demorada. (Lembre-se do conceito de aprendizagem significativa que apresentei em um post anterior).

Além disso, ao desenhar e exercitar o raciocínio lógico, diferentes porções do nosso córtex cerebral são despertados, ativando circuitos para ativar funções como a linguagem, a memória e etc. E, por isso, ao ter contato prévio com as ideias similares ao eixo de coordenadas, fica mais fácil compreender as definições do plano cartesiano e, assim, aprender as nomenclaturas técnicas passa a ser uma questão pontual a ser resolvida.

Para entender um pouco mais sobre o funcionamento do nosso cérebro e como funciona o processo de aprendizagem, recomendo este livro:

Título: Neurociência e educação – como o cérebro aprende
Autores: Ramon M. Cosenza e Leonor B. Guerra
Editora: Artmed
Crédito da imagem: http://www.amazon.com.br

Obviamente, não há uma garantia absoluta de que todos aprenderão dessa forma, pois cada pessoa tem sua individualidade na aprendizagem. Mas, ao tentar despertar diferentes tipos de habilidades, há mais chances de proporcionar a aprendizagem para variados grupos de pessoas. 

Outras sugestões de atividades para introduzir o conceito de plano cartesiano e sistema de coordenadas:

  • Batalha naval;
  • Mapas e plantas;
  • Bingo;
  • Planilha do Excel;
  • Atividade de ponto cruz;
  • Criar desenhos com miçangas.

Fora essas atividades, também é possível trabalhar com softwares de geometria dinâmica como o Geogebra ou Winplot, entre os mais conhecidos, mas há outros similares.

Essas são algumas inspirações para quem está tentando aprender ou ensinar o plano cartesiano e o sistema de coordenadas. Se você tiver interesse que eu proponha mais atividades detalhadas utilizando algumas delas, deixe nos comentários

Desafio: Qual é o desenho que fiz na figura 1? Deixe a resposta nos comentários!

Se você quiser ver o passo a passo da montagem do diagrama e da resolução do nonogram, assista ao nosso vídeo!

A história do nonogram

nonogram foi criado no Japão, na década de 80, aparentemente, por dois criadores: Tetsuo Nishiya e Non Ishida, que tiveram a ideia na mesma época de formas distintas.

Ishida acabou ganhando fama no Reino Unido, por ter sido descoberto por um colecionador de quebra-cabeças britânico chamado James Dalgerty, que levou a ideia para o seu país e passou a ser publicado no jornal The Sunday Telegraph. E assim, o jogo ganhou o nome de “diagrama de Non” (Non+dia’gram = nonogram). Por outro lado, Nishiya ganhou fama dentro do Japão, pela sua invenção, com o nome Puzzler (パズラー).

Esse quebra-cabeças possui diversos nomes além desses dois como:

  • Illust Logic (ilustração com lógica);
  • Oekaki Logic (desenho com lógica);
  • Picross (jogo lançado pela Nintendo);
  • Griddler;
  • Pictograph;
  • Japanese Crossword (quebra-cabeças japonês);
  • Hanjie;
  • Nemonemo Logic. 

Fontes: Yodosha (em japonês) e DCC da Universidade de Lancaster.