Por que não se pode dividir por zero? Zero e sua história

Publicado em 23/07/2021 por Luzia Kikuchi

Muita gente costuma dizer que “os números não mentem” ou que “1 + 1 sempre será igual a 2”. Porém, o fato que pouca gente conhece é que, para que algumas operações aritméticas tenham sempre o mesmo resultado, é necessário seguir algumas regras básicas da aritmética. E isso envolve, particularmente, as operações com o “zero”.

Brahmagupta, que foi um matemático hindu que viveu por volta do século VII, foi quem mais contribuiu com os conhecimentos que temos hoje sobre operações aritméticas, que posteriormente também contribuíram para a Álgebra. Algumas de suas contribuições são essas três regras básicas da aritmética.

  1. “Zero é um elemento neutro da adição”.

Isto é, um número somado ao zero sempre será o próprio número.

1 + 0 = 12 + 0 = 2-4 + 0 = -4
  1. “Um número multiplicado por zero é sempre zero”.

Não importando se o número é positivo ou negativo, a multiplicação por zero sempre resultará em zero.

\times 0 = 0\times 2 = 0-4 \times 0 = 0

Isso vale também para o cálculo de raízes quadradas e potências quadradas.

0^{2} = 0 \sqrt{0} = 0
  1. “Zero dividido por qualquer número é sempre zero”

Aqui também não importa se o divisor é positivo ou negativo, sempre será zero.

0 \div 1 = 00 \div (-5) = 0

E um número dividido por zero?

Este é o caso problemático. Brahmagupta acabou fazendo uma afirmação de que zero dividido por zero seria igual a zero. Porém, se utilizarmos essa definição, em alguns casos, vamos acabar chegando em absurdos como 1 = 2.

Ian Stewart, no seu livro “Almanaque das curiosidades matemáticas” na página 94, faz uma explicação bastante clara de que, normalmente, quando dividimos por um mesmo número, o resultado é 1. Então, se aplicarmos, hipoteticamente, essa definição para o caso 0 \div 0 ou \frac{0}{0} teríamos:

Se \frac{0}{0} = 1, temos:

4 = 4  \times 1

4 = 4  \times (\frac{0}{0})

4 =  \frac{4\times 0}{0}

4 = \frac{0}{0}

4 = 1

Eita! Chegamos a um absurdo aqui! Então, esse é um dos motivos que não podemos dividir nenhum número por zero.

Até hoje, não há um consenso entre os matemáticos do que considerar a divisão por zero. Mas, o mais aceito é que zero dividido por zero é uma indeterminação. Ou seja, não retorna um valor numérico.

A história do zero

Nos livros de História da Matemática mais conhecidos, como o de Boyer (2012)Roque (2012) ou Eves (1990), fala-se muito pouco sobre a origem do zero. Boyer (2012), particularmente, dá uma visão bastante eurocêntrica de sua origem, acreditando que a origem do zero tenha começado com os gregos e que os hindus, possivelmente, incorporaram em sua matemática após o estabelecimento do sistema decimal posicional por lá. Mas, também afirma que existem muitas controvérsias envolvendo o assunto na História da Matemática.

Já nos livros de Roque (2012) e Eves (1990), há uma visão mais ponderada sobre a origem do zero e que, além de ser pouco conhecida, é muito difícil de ser explicada. Tanto Roque quanto Eves mencionam que, na antiga Babilônia, há registros de uso do zero com a conotação de vazio ou como demarcador de posição, mas não se têm registros do uso do zero como um número. Eves ainda faz uma leve menção sobre a utilização do zero na civilização maia e também afirma que a história da matemática hindu ainda merece ser melhor investigada, pois há muitas contradições e confusões envolvidas. Segundo o autor, isso se deve, muito provavelmente, por erros de tradução ou pela dificuldade de interpretação das escritas dos autores hindus.

Não me dando por satisfeita, resolvi procurar então no portal de periódicos da CAPES, algum estudo que mencionasse a história ou origem do zero. Eis que tive a grata surpresa de encontrar um artigo muito interessante intitulado “The enormity of zero” (A magnitude do zero – em tradução livre), escrito por George Gheverghese Joseph: pesquisador matemático, nascido na Índia, mas que recebeu parte de sua educação no Quênia e, posteriormente, no Reino Unido. Atualmente, dedica-se a estudar as contribuições históricas e sociais da Matemática de culturas não europeias.

Nesse artigo, é possível ter uma visão um pouco mais abrangente sobre as origens do zero vindo de diferentes povos. Segundo Joseph (2002), existem pelo menos cinco possíveis civilizações que utilizaram a noção de zero: os egípcios, os babilônios, os chineses, os indianos e, na América Central, os maias. Os indianos e os maias são os que atribuíram ao zero diversos significados, que são mais próximos da visão atual, e que inclusive utilizavam o zero como um número. Em nenhuma das civilizações anteriores, como a egípcia, babilônica e chinesa, o zero é usado com significado de número.

Segundo Joseph (2002, p. 158) os gregos herdaram muito do conhecimento matemático e científico dos egípcios. No entanto, diferente dos egípcios, que ocupavam boa parte da matemática em assuntos relacionados ao cotidiano, que podem ser vistos em problemas do Papiro de Rhind, os gregos se interessaram em estudar e evoluir a geometria axiomática em detrimento de todo restante. Por conta disso, esse povo preocupou-se pouco em desenvolver as notações do seu sistema numérico.

Essa constatação de Joseph, vai de encontro com a suposição que Boyer (2012, p. 155), que citei anteriormente, sobre a origem do zero ser grega. Na realidade, segundo Joseph (2002, p. 158), ao contrário dos gregos, os indianos foram os que mais se dedicaram a estudar a aritmética em detrimento da geometria axiomática, por exemplo. Brahmagupta foi um dos primeiros e mais relevantes nomes que contribuiu para o desenvolvimento da Aritmética, e seus trabalhos foram difundidos também na Álgebra, principalmente nos trabalhos de Bhaskara: outro nome relevante da matemática. Uma das principais contribuições de Bhaskara, em relação ao trabalho de Brahmagupta, foi em relação à divisão por zero (HILLESHEIM e MORETTI, 2016, p. 238).

(E você achava que Bhaskara era inútil na sua vida, hein? Se não fosse por ele, nem as suas contas básicas iam bater sempre… rs)

O sistema numérico foi difundido na Europa pelos muçulmanos, sendo a Espanha e o que corresponde hoje a região da Sicília, os principais intermediários dessa transmissão para o restante do continente.

Outra curiosidade sobre o zero: ele é par ou ímpar?

Nesse mesmo artigo de Joseph (2002), conta-se uma situação que ocorreu na década de 70 em Paris, no qual foi determinada uma lei de trânsito no qual apenas os veículos de placas com finais ímpar poderiam circular pela cidade. Mas, e as placas com finais zero? Poderiam circular ou não? Reza a lenda de que os motoristas evitaram de serem multados, já que os agentes de trânsito não saberiam responder a essa pergunta! rs

A resposta para essa pergunta depende muito em qual conjunto você for incluir o zero. Isto é, se ele for incluído no conjunto dos números inteiros, o zero é par. Porém, se ele for incluído no conjunto dos números naturais, normalmente, o zero não faz parte desse conjunto. Isso se deve ao fato de que o conceito de par só é aplicado ao conjunto de números naturais, associados aos conceitos de números primos e fatoração, no qual o menor número natural é o 1, excluindo dessa forma o zero. Ainda assim, segundo Joseph (2002, p. 163), alguns matemáticos que trabalham na área de fundamentos da matemática consideram o zero como um número natural e também um inteiro. Para esses, o zero é par por extensão.

Outros matemáticos ainda dizem que o zero não é par e nem ímpar. E essa discussão vai longe… Basicamente, essa dificuldade surgiu por conta do conceito de par e ímpar ter surgido sem considerar a existência do zero e dos números inteiros.

Eu recomendo a leitura completa do artigo de Joseph, que é muito interessante. E caso você não tenha fluência para ler em inglês, eu fiquei sabendo dessa dica ótima do instagram da Sabrina Xavier (@estudanteeternamente) usando uma ferramenta online chamada DeepL tradutor. Ele pode ser baixado no computador também para ser usado off-line. Eu fiz o teste com um parágrafo desse artigo e achei que fica uma tradução bastante aceitável.

Gostou dessa história do zero? Quais outros assuntos sobre matemática você gostaria que eu trouxesse aqui no blog?

E se você quiser ver as explicações com uso de animações, assista ao vídeo que estará no ar a partir das 21h.

Comemoração de 1.000 inscritos e 10.000 seguidores no projeto!

Publicado em 09/07/2021 por Luzia Kikuchi

Isso mesmo que está no título: o canal chegou a marca de 1.000 inscritos no último dia 21 de junho de 2021 e, hoje, já conta com mais de 10.000 seguidores no projeto como um todo, somando as plataformas do YouTube, Blog e as Redes Sociais (FacebookInstagram e Quora). O espaço do Quora é o que atualmente conta com o maior número desse total, com o YouTube em segundo lugar.

Se você ainda não conhece algum deles, pode acessar pelos links no menu ao lado esquerdo da tela (caso esteja acessando pelo computador) ou no menu suspenso acima (se estiver acessando pelo celular ou tablet).

Eu acho que a maior parte que acessa este blog, deve vir por conta do canal no YouTube, mas custa nada reforçar, né? rs

Quero agradecer a cada pessoa que acompanha quinzenalmente as atualizações deste projeto e, para mim, é muito bom saber que o conteúdo vem ajudando tantas pessoas. 

Para não deixar esse marco passar em branco, resolvi fazer novamente um vídeo no formato de perguntas e respostas, escolhendo as perguntas mais encaminhadas pelo Quora, cujo conteúdo pode também ser encontrado em alguns vídeos do canal. Por isso, se você está chegando pela primeira vez por aqui, é um ótimo meio para saber quais assuntos você já pode encontrar no canal.

Também respondi algumas perguntas que ajudam a conhecer um pouco sobre mim, a criadora que está por trás deste projeto.

Por se tratar de um post para comemorar um marco importante deste projeto, não me estenderei muito hoje nos conteúdos abordados no vídeo, como costumo fazer em meus posts. Mas, deixarei apenas uma explicação mais detalhada sobre a seguinte pergunta:

“Estudantes menores de idade devem ter o direito de cursarem a universidade se passarem no vestibular?”

Não sei exatamente de qual contexto a pessoa trouxe essa pergunta, mas, sei que, poucos meses atrás houve uma polêmica semelhante, que foi veiculado em vários noticiários, sobre o fato de uma estudante ter sido aprovada no vestibular da USP, mas foi impedida de se matricular, por não apresentar o diploma de Ensino Médio de uma instituição regular de ensino, pois optou por estudar sozinha em casa.

Recentemente, li outra notícia dizendo que a família havia entrado com um pedido na justiça para que a vaga fosse garantida enquanto ela não realiza a prova do ENCCEJA (Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos), que seria em agosto deste ano. Dessa forma, com a aprovação nesse exame, ela garantiria que está apta para cursar o Ensino Superior, conforme previsto na lei.

Ouvi muitas pessoas indignadas nos comentários dessa notícia em questão, mas o ponto que eu quero chamar a atenção, tanto para o caso do noticiário quanto para a pergunta em questão, é que não é a instituição de ensino (no caso as universidades) que determina a obrigatoriedade de apresentação do diploma de Ensino Médio para que o estudante possa se matricular no Ensino Superior. É a Lei de Diretrizes e Bases (LDB), nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996, que, como diz o próprio nome, estabelece algumas regras para a educação nacional. Portanto, trata-se de uma lei federal.

Veja o trecho da lei que fala exatamente sobre isso:

CAPÍTULO IV

DA EDUCAÇÃO SUPERIOR

Art. 44. A educação superior abrangerá os seguintes cursos e programas:       (Regulamento)

I – cursos seqüenciais por campo de saber, de diferentes níveis de abrangência, abertos a candidatos que atendam aos requisitos estabelecidos pelas instituições de ensino;

I – cursos seqüenciais por campo de saber, de diferentes níveis de abrangência, abertos a candidatos que atendam aos requisitos estabelecidos pelas instituições de ensino, desde que tenham concluído o ensino médio ou equivalente;            (Redação dada pela Lei nº 11.632, de 2007).

II – de graduação, abertos a candidatos que tenham concluído o ensino médio ou equivalente e tenham sido classificados em processo seletivo;

III – de pós-graduação, compreendendo programas de mestrado e doutorado, cursos de especialização, aperfeiçoamento e outros, abertos a candidatos diplomados em cursos de graduação e que atendam às exigências das instituições de ensino;

IV – de extensão, abertos a candidatos que atendam aos requisitos estabelecidos em cada caso pelas instituições de ensino.

Fonte: BRASIL, LDB, nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996.

Isso significa que, independentemente da idade, a matrícula na universidade pode ser feita a candidatos que concluíram o Ensino Médio ou equivalente e tenham sido classificados em processo seletivo. Ou seja, ser apenas aprovado no vestibular cumpre apenas parte desses requisitos. Se o estudante concluir o Ensino Médio antes dos 18 anos, isso não seria impeditivo para realizar a matrícula no Ensino Superior, segundo a LDB. O que responderia parte da pergunta.

Já no caso do ENCCEJA, que garantiria a obtenção do certificado de conclusão do Ensino Médio, mesmo não tendo cursado em uma instituição regular de ensino básico, ele só é permitido para pessoas a partir dos 18 anos. Isso se deve ao fato da prova ser destinada a estudantes que não puderam concluir o Ensino Médio no tempo regular e não para certificar aqueles que optaram não se graduar por uma escola de ensino regular.

As diferentes interpretações do homeschooling (ensino doméstico) no mundo

Em alguns países a modalidade de ensino doméstico é regulamentado, mas, numa grande maioria, ele é estritamente proibido, inclusive no Brasil. Segundo o site Right to Education (Direito à Educação, em tradução livre), uma organização internacional de Direitos Humanos, a principal causa dessa diferença entre cada país é a legislação que regulamenta a liberdade e direito de cada cidadão. É interessante que, mesmo nos Estados Unidos, país notoriamente reconhecido pela liberdade econômica e de expressão, o ensino doméstico é proibido em todos os seus 50 estados federativos.

A grande barreira de aprovação do ensino doméstico é sobre as questões de formação da criança garantida pela Convenção Internacional de Direitos da Criança na qual a educação deve garantir o desenvolvimento pleno da personalidade da criança, dos seus talentos e das habilidades mentais e físicas. Dessa forma, regulamentar o ensino doméstico passa a ser uma tarefa bastante trabalhosa para garantir o cumprimento dessa convenção internacional.

E assim como eu comento no vídeo, ir à escola não se trata apenas de adquirir conhecimento. Também é importante para o desenvolvimento das habilidades sociais e emocionais, tão importantes para o mercado de trabalho como para o convívio em sociedade, que seria a outra parte que eu complementaria como resposta da pergunta do Quora.

Espero que tenham gostado desse perguntas e respostas e, me conte aqui nos comentários, por onde você conheceu o projeto “Como Aprender?”?

Como desenvolver o pensamento crítico e as habilidades para entender o mundo?

Publicado em 25/06/2021 por Luzia Kikuchi

Muito se fala sobre a necessidade de “desenvolver o pensamento crítico” para entender melhor o mundo. Na área de Educação, já virou quase que um “bordão” entre os educadores.

Mas, a pergunta que não cala é: como e o que é necessário para desenvolver o pensamento crítico?

Para chegarmos a essa resposta, é importante relembrar o conceito que expus no post anterior, sobre as formas de desenvolver a capacidade de abstração. E um dos requisitos importantes é acumular conhecimentos prévios suficientes, em sua memória de longo prazo. E, para obter esses conhecimentos, é necessário “aguçar” a nossa curiosidade em experimentar coisas novas.

Com tanta fonte de informação abundante, no contexto atual, estimular a curiosidade parece ser um trabalho relativamente fácil. Porém, será que existe uma fonte de informação que seja mais eficaz para o acúmulo de conhecimento a longo prazo?

A resposta mais próxima para essa pergunta foi publicada em um estudo feito por Stanovich e Cunningham (1993), que avaliou as formas mais comuns de se obter conhecimento como: programas de televisão, artigos de revistas e matérias de jornais. Dentre essas fontes, desejava-se analisar qual ou quais delas eram mais eficazes para manter as informações na memória de longo prazo e influenciar positivamente o desenvolvimento cognitivo. E a conclusão é que a leitura de informações escritas parecem ser mais eficazes do que a exposição a vídeos.

No entanto, um estudo que foi publicado três anos depois por pesquisadores da Universidade de Syracuse e da Hamilton College, ambas localizadas em Nova York, tentou verificar se vídeos são realmente ineficazes para o acúmulo de conhecimento a longo prazo e também no desenvolvimento cognitivo, como apontado em 1993 pelo estudo de Stanovich e Cunningham.

Os resultados encontrados são interessantes. Aparentemente, a aquisição de conhecimento cultural pode estar ligado ao tipo de conteúdo audiovisual que os participantes foram expostos. Por exemplo, programas de cunho educativo parecem ter tanta eficácia quanto a leitura de materiais escritos. Embora assistir a vídeos seja um esforço cognitivo menor comparada à atividade de leitura, caso o estudante esteja engajado em aprender com o material do vídeo, ele pode ser tão eficaz quanto realizar uma leitura (então assista a mais vídeos do “Como Aprender?” 😉 – o vídeo de hoje estará disponível às 21h ).

Por outro lado, este estudo também confirmou, o que já tinha sido apontado pelo estudo de 1993, que pessoas que assistem mais a desenhos animados ou programas de entretenimento acabam se envolvendo menos com atividades educativas, incluso a leitura, sendo menos estimuladas para desenvolver as suas habilidades cognitivas.

Daniel Willingham, no capítulo 2 do seu livro “Por que os alunos não gostam da escola?”, compilou algumas informações importantes sobre como desenvolver o pensamento crítico, que vou enumerar em tópicos:

  1. É melhor ter conhecimento superficial do que nenhum conhecimento
  2. Para ter um pensamento crítico, é necessário ter uma base de conhecimento prévio
  3. Adquira o hábito de ler
  4. Encontrar um material que faça sentido para você
  1.  É melhor ter conhecimento superficial do que nenhum conhecimento

Uma vez, estava assistindo a um episódio do “Masterchef Brasil: a Revanche” e um dos participantes, Helton Oliveira, que era um dos nomes promissores para concorrer ao prêmio, acabou sendo eliminado numa prova contra o Vitor Bourguignon.

Embora seja inegável que Helton, apesar da pouca idade, tem um talento nato comparado ao Vitor, o último acabou vencendo pela experiência e conhecimento que tinha sobre cozinha.

Em uma das eliminações, a chefe, Paola Carosella disse ao Helton que, apesar de sua habilidade, era necessário estudar e ter mais conhecimento para se tornar um chefe de cozinha respeitável. Se quiser ler o que ela disse na íntegra, tem esta matéria aqui.

O motivo de eu ter citado essa passagem do Masterchef Brasil tem tudo a ver com o que Willingham citou em seu livro: “ter conhecimento superficial é melhor que não ter nenhum”. Na fatídica competição, Vitor tinha mais conhecimento de técnicas de cozinha do que Helton naquele momento. E isso acabou tornando-se uma vantagem em momentos cruciais. Se você assistir às duas temporadas que Helton participou, em muitos momentos, ele hesitou em como preparar um prato por não conhecer a nomenclatura de alguns deles ou de técnicas de preparo. Obviamente, isso não desmerece o talento do garoto, mas ficou evidente que somente o talento não é suficiente. É necessário ter também o conhecimento.

  1. Para ter um pensamento crítico, é necessário ter uma base de conhecimento prévio

Pensar criticamente sobre um assunto no qual não se sabe absolutamente nada, é quase impossível. Por isso, antes de mais nada, é necessário preencher a sua “biblioteca de conhecimentos”. Antes de pensar em adquirir habilidades, estude sobre o assunto, pratique, mas sempre busque por mais referências e outras fontes. Por mais que no início seja muito difícil ter uma opinião a respeito de algum assunto, quanto mais você estudar a respeito dele, mais será capaz de opinar criticamente no futuro. Lembrando sempre de tentar consultar fontes confiáveis (livros escritos por especialistas, portais especializados, periódicos científicos, etc.) e não acreditar apenas em opinião baseada no “achismo” de algumas pessoas, que nem se certificaram em profundidade ou veracidade sobre um assunto.

  1. Adquira o hábito de ler

Mesmo que você não seja ainda um leitor ávido ou uma leitora ávida, comece aos poucos. No post anterior, dei dicas de como adquirir o hábito de leitura e aplicativos que podem se adaptar às diferentes necessidades, para que você possa aos poucos desenvolver o seu ritmo de leitura.

E lembre-se que o livro não precisa ser chato para ser útil. Você precisa encontrar aquele que se adapta ao seu estilo. Conforme você desenvolver o hábito, será capaz de expandir para diferentes estilos de escrita. Novamente, o hábito se desenvolve aos poucos, como já dizia Charles Duhigg em seu livro “O Poder do Hábito”.

  1. Encontrar um material que faça sentido para você

Todo mundo já se deparou com algum assunto que se interessa mais e outros menos. E não tem problema em ser assim. O que precisamos encontrar, muitas vezes, é o melhor “canal” para aprender certos tipos de assuntos. Por exemplo, por que é muito mais fácil lembrar-se de uma situação engraçada do que outra sem graça? Mesmo que já esteja cientificamente comprovado que a repetição leva a perfeição, fazer tarefas de forma repetitiva e sem significado é bastante desafiador para manter a motivação. É por isso que existem os jogos educativos, a criação de narrativas e também de desenvolvimento de materiais de forma ativa, para que cada pessoa possa encontrar aquele melhor “canal” para se interessar sobre um assunto e, assim, continuar praticando.

Acredito que quanto mais cedo estimulamos as crianças indo a museus, levando a teatros, cinemas e oferecendo diferentes materiais de leitura, mais cedo elas serão capazes de encontrar o melhor material para buscar o seu conhecimento. O que elas precisam é de diversidade e oportunidade de buscar mais informações e não se limitar apenas a materiais audiovisuais, por exemplo.

Agora, se você já é um adulto e não teve a mesma oportunidade. Não se limite. Experimente. Aprenda algo novo, coloque uma meta de conhecer ou aprender sobre algo que não sabia antes. O conhecimento é cumulativo, então, por menor que seja, ela ajudará a formar novas conexões em seu cérebro e isso ajudará a criar pensamentos mais críticos e também de estimular a criatividade.