Como resolver problemas de Análise Combinatória?

E sem precisar decorar fórmulas!

Publicado em 29/05/2020 por Luzia Kikuchi

Para quem chegou no Ensino Médio, um dos conteúdos que os estudantes costumam ter muitas dificuldades é o de Análise Combinatória.

Os problemas de Análise Combinatória requerem um certo treino e criatividade para resolvê-los, mas boa parte delas exige mais a compreensão do cenário proposto pelo problema do que a complexidade dos cálculos em si.

Uma das razões desse conteúdo ser tão temido é o pouco tempo de contato com tais problemas. Desenvolver um raciocínio crítico e criativo exige um tempo para habituação do aluno. Assim, muitas vezes, a falta de compreensão dos problemas também deriva do tempo limitado de apresentação e trabalho com tal conteúdo.

Outra razão pela qual esse conteúdo se torna tão difícil é a mecanização de resolução dos problemas. Dessa forma, imaginar quando uma situação é de arranjocombinação ou permutação acaba sendo muito vago, se não houver a compreensão plena do que está sendo proposto no problema.

Enquanto professora de Matemática, já pensei em algumas formas de tornar esse conteúdo mais inteligível para os alunos. Uma das maneiras foi tentar não valorizar inicialmente as fórmulas, mas o *Princípio Fundamental a Contagem (PFC) ou o Princípio da Multiplicação.

*Princípio Fundamental da Contagem é a forma como uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, depois de ter tomada a decisão d1, posso tomar a decisão d2 de maneiras, então o número de maneiras de tomar a decisão é igual a multiplicação de cada uma dessas decisões d1 e d2 que é x . y

Fonte: MORGADO et al., 2004, p. 18

Nessa busca, encontrei uma dissertação de mestrado muito interessante da Rafaela Gonçalves do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), que fez um estudo comparativo com duas turmas em que lecionava: uma aplicando apenas o PFC para resolução dos problemas e na outra por meio de aplicação de fórmulas.

Inicialmente, a pesquisadora notou que o desempenho entre os estudantes foi muito similar, mas após algum tempo, com a reaplicação das mesmas atividades, notou que aqueles que optaram por resolver pela PFC conseguiam ter mais sucesso na resolução desses problemas do que os orientados por fórmulas.

Uma observação interessante que a pesquisadora também faz é que os estudantes que optaram por utilizar fórmulas para resolver os problemas apresentam uma certa resistência para utilizar o PFC como alternativa. Enquanto os que utilizaram o PFC não tinham problemas de fazer a transição para o uso de fórmulas.

Esse estudo mostra que a aplicação mecânica de fórmulas não confere um aprendizado significativo para os alunos. Além disso, perde-se o que é fundamental: saber interpretar problemas.

Por fim, a pesquisadora incentiva o ensino por Resolução de Problemas ou Metodologias Ativas, do que sou também a favor. No entanto, a grande barreira desses tipos de metodologias de ensino seria a certa insegurança do professor em aplicá-las. 

Quando lecionei para o curso de Licenciatura em Matemática, consegui notar o quanto os alunos ainda estão habituados a trabalhar somente com problemas das quais sabem a resposta de antemão. Trabalhar com problemas nos quais não se pode prever todas as resoluções antecipadamente criam muito receio neles e, provavelmente, em muitos professores que estão na ativa.

Acredito que esse “medo” só deve se minimizar quando o professor tiver certa segurança no papel que deve ser para o estudante. Se aceitarmos o fato de que não somos o “detentor do conhecimento”, mas o mediador que ajuda a compreender os conceitos, teríamos menos resistência em trabalhar com a resolução de problemas. 

No entanto, na prática isso também não é tão simples assim, pois, muitas vezes, o fato do professor não saber todas as respostas é visto como um “estigma” pela sociedade. Não entrarei em detalhes nesse mérito, pois há várias questões socioculturais a respeito do papel do professor na sociedade que acabaria desviando o assunto deste post.

E como resolver problemas de análise combinatória?

De longe pretendo criar um “manual infalível” para resolver problemas de análise combinatória. No entanto, os passos que vou sugerir a seguir podem ajudar a compreender os problemas clássicos de análise combinatória, pois desviam da forma que habitualmente o conteúdo é abordado. Dessa forma, ter uma variedade de opções permite ao estudante a autonomia para escolher o melhor método de experimentação para resolver outros problemas semelhantes.

Como o texto ficaria muito longo, optei por explicar o passo a passo neste vídeo. Clique para assistir.

Inspirada nessa temática, também indico o trabalho da professora Wanessa Trevizan do Instituto Federal de São Paulo cujo livro “Como ensinar análise combinatória”, derivada da sua pesquisa de mestrado, também aborda os aspectos didáticos sobre o conteúdo de Análise Combinatória. 

É uma leitura recomendada para professores e pessoas interessadas em ingressar na pós-graduação que gostariam de aprofundar sobre a teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, teórico francês reconhecido mundialmente pelas suas contribuições na Didática da Matemática e laureado com a medalha Felix Klein* em 2003.

* A medalha Felix Klein é um prêmio criado pela Comissão Internacional de Instrução Matemática, conhecida como ICMI, para reconhecer os trabalhos de grande impacto em Educação Matemática.

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Título: Como ensinar análise combinatória
Autores: Wanessa Aparecida Trevizan e Antonio Carlos Brolezzi
Editora: Livraria da Física
Crédito da imagem: acervo pessoal

Título: Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios (6ª edição)
Autores: Augusto César de Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez. 
Editora: Sociedade Brasileira de Matemática (Coleção do Professor de Matemática)
Crédito da imagem: acervo pessoal

Deixe nos comentários qual outro conteúdo específico de matemática você tem dificuldade e gostaria que eu explicasse em detalhes.

Anexo:

Qual a diferença essencial entre Combinação, Arranjo e Permutação?

Quando eu calculo uma combinação de um conjunto finito, a ordenação dos elementos que pertencem a esses subconjuntos, originados do conjunto finito, não fazem diferença.

Por exemplo, um problema clássico de análise combinatória usando combinação seria o seguinte:

Trabalho no departamento de Recursos Humanos e preciso selecionar dentre os 12 currículos que recebi nos últimos dias 5 candidatos para ocuparem a vaga de analista de sistemas para serem alocados em um projeto específico da empresa. Todos ocuparão o mesmo cargo e não haverá distinção de salário entre eles. De quantas maneiras distintas posso fazer essa escolha?

Suponha que eu tenha selecionado os currículos dos seguintes candidatos fictícios primeiramente na seguinte ordem: André, Marcelo, Rubens, João e Pedro. Mas, se no dia da contratação, eu fizer a chamada dos candidatos numa nova ordem: Pedro, Rubens, João, André e Marcelo, o grupo ainda continuará sendo o mesmo? A resposta é sim.

Para que esse problema passe a ser de arranjo, a única diferença do enunciado seria se houvesse distinção no cargo ocupado ordenando da seguinte forma: 1º cargo seria para diretor, 2º para gerente de projetos, 3º para gerente de produtos, 4º para líder de projeto e 5º para analista. Nesse caso, a ordem que cada candidato será chamado, dentro do grupo de 5 pessoas, faz a diferença.

E, por último, a permutação é simplesmente o número de formas diferentes que posso ordenar um determinado conjunto.

Por essa razão, sabendo o Princípio Fundamental da Contagem e a permutação é suficiente para resolver problemas de combinação, como pode ser visto na explicação do vídeo.

Uma legenda rápida que criei para quando tiver dúvidas seria a seguinte:

Arranjo: um arranjo de flores, como um buquê, é feito de forma organizada e equilibrada.

Combinação: é o mesmo que união ou agrupamento.

Permutação: o termo “permuta” é famoso dentro do YouTube e dos influenciadores digitais. Trata-se de uma negociação de troca de produtos e serviços oferecidos, em vez de recolher um pagamento em dinheiro. Isso significa que a troca é recíproca, ambos trocam algo que consideram de mesmo valor.

Publicado por

Luzia Kikuchi

Adora aprender sobre o funcionamento do cérebro para que possa entender certos tipos de comportamentos dos seres humanos e assim poder ajudar a si mesma e também a outras pessoas.

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