Como ensinar plano cartesiano: entendendo algumas origens históricas

Publicado em 09/10/2020 por Luzia Kikuchi

Plano cartesiano é um dos primeiros conceitos de Geometria Analítica que aparecem em livros didáticos de Matemática. Normalmente, ele é trabalhado nos anos finais, entre 8º e 9º ano do Ensino Fundamental.

No post sobre arte e lógica, eu havia comentado que o nonogram poderia ser uma ótima forma de introduzir o conceito de plano cartesiano para os estudantes. Além dele, citei também as planilhas do Excel, diagramas de ponto cruz, batalha naval entre outros, que você pode consultar nesse mesmo post.

Porém, é preciso esclarecer que, trabalhar com essas soluções didáticas seria para reforçar o conceito de coordenadas, que costuma ser a dúvida de muitos estudantes. Afinal de contas, não é fácil compreender por que o eixo x chama-se abscissa e o eixo y de ordenada ou por que na notação de coordenada começa-se sempre pelo eixo horizontal e não pelo vertical.

Muitas vezes, as atividades envolvendo plano cartesiano limitam-se a apresentar muitas notações algébricas e interpretação de gráficos, mas com poucas atividades lúdicas de transição para ajudar na compreensão dos conceitos. E ensinar apenas as notações, sem um mínimo de contextualização, só reforça o estereótipo de que a matemática é muito arbitrária* e que é dependente de intensa memorização de conceitos.

* a palavra “arbitrária” pode ter diversos sentidos, mas aqui estou utilizando com o significado de que segue uma norma própria estabelecida por outra pessoa e não tem fundamentação lógica.

Podemos dizer que, em partes, a Matemática é apresentada dessa forma por conta do processo de didatização desses conteúdos que foram escolhidos para serem ensinados nos livros escolares. Isto é, inicialmente, parecia ser “mais fácil” trabalhar apenas com o produto final das notações, por meio de algoritmos, sem considerar todo o processo envolvido na construção do plano cartesiano. Porém, isso teve um preço: uma imensa quantidade de alunos que não compreendem os conceitos de coordenadas, equações, gráficos e funções. Isso não afeta apenas a compreensão dos tópicos em Matemática, mas como de outras áreas afins como Física e Química, principalmente.

Porém, mudar esse processo didático também não é uma tarefa tão simples, pois é necessário recorrer a conhecimentos de história da Matemática e também de tempo e disponibilidade para trabalhar com tarefas que ajudem a construir o conceito de plano cartesiano contextualizado à realidade atual do aluno. Neste post, darei algumas sugestões de como fazer isso.

De onde vem o conceito de plano cartesiano?

O crédito pela notação do sistema cartesiano, é dado a René Descartes, filósofo e matemático francês, do século XVII. Inclusive o plano cartesiano deriva de seu nome. 

Embora Descartes tenha sido responsável por unir a Álgebra com a Geometria, fazendo nascer assim o conceito de Geometria Analítica como conhecemos hoje, segundo o livro “História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas” de Tatiana Roque, alguns registros históricos mostram que as ideias primitivas de plano cartesiano podem ser vistas no trabalho de Nicolas Oresme, no século XIV. No entanto, diferente do sistema cartesiano, os diagramas feitos por Oresme não apresentam uma correlação algébrica para sua interpretação, ainda que essas representações trabalhassem, de certa forma, com grandezas envolvendo movimento (ROQUE, 2012). E essa interpretação de Oresme é uma consequência do pensamento pertencente à época, na qual a grandeza era vista de forma qualitativa e não quantitativa. Desse modo, segundo Tatiana Roque, o pensamento de Oresme também envolve uma questão filosófica que vai muito além de trabalhar apenas com grandezas da forma como vemos em Física ou em Matemática, nos dias de hoje.

De onde surgiram os nomes coordenadas, abscissa e ordenadas?

Essas nomenclaturas não foram definidas por Descartes, mas por Leibniz em 1692, segundo o livro de Howard Eves: “Introdução à História da Matemática”. Quanto ao significado das palavras abscissa ordenada já é um pouco mais difícil de remontar a origem do significado, já que nos livros de história da matemática que consultei, quase não há alguma menção nesse mérito.

No entanto, a explicação mais próxima que encontrei para compreender o significado dessas palavras foi procurando a etimologia* delas. Muito provavelmente, vem do Latim, sendo que abscissa significa “parte de uma linha” na qual nomeamos o eixo na horizontal. Já a ordenada algo próximo a “linhas empilhadas” que corresponde ao eixo na vertical. Verificando o significado dessas palavras em latim, esses nomes começam a fazer um pouco mais de sentido.

*etimologia é uma área da gramática que estuda a origem das palavras.

E por que abscissa também é chamada de eixo x e ordenada de eixo y?

Bom, isso já se deve à forma como Descartes deu nome aos valores desconhecidos de uma equação com as últimas letras do alfabeto (x, y, z). E como uma de suas propostas era transformar operações algébricas para linguagem geométrica, muito provavelmente esse deve ser o fator que influenciou a convenção da nomenclatura para coordenadas (x, y). Não vou entrar no mérito da demonstração que Descartes fez em seu livro La géométrie, mas, se vocês quiserem ler mais a respeito, recomendo consultar o livro “História da Matemática” de Carl Boyer.

Por que a letra x é frequentemente usada para representar valores desconhecidos?

Descartes também foi o responsável por sistematizar as últimas letras do alfabeto para representar as variáveis ou valores desconhecidos em Matemática. Porém, essa sistematização parece vir muito mais do acaso do que uma escolha deliberada por parte do matemático.

Segundo o livro “Unknown Quantity: a real and imaginary History of Algebra” de John Derbyshire, há uma menção de um trecho do livro “Classic Math”, escrito por Art Johnson, sobre o motivo pelo qual a letra é comumente usada para representar variáveis ou valores desconhecidos. Segundo Art Johnson, quando Descartes enviou o seu manuscrito de La géométrie para impressão, a impressora estava com limitação para imprimir as últimas letras do alfabeto: xy e z. O editor então perguntou a Descartes se haveria qualquer problema em substituir algumas daquelas letras que ele havia usado para representar os valores desconhecidos em suas equações. O matemático respondeu que não e, assim, o editor optou por substituir boa parte dos valores desconhecidos por já que as letras e zsão mais usadas no vocabulário francês do que a letra x. E assim, a letra x tornou-se padrão para representar um valor desconhecido.

Compreendendo inicialmente essa parte histórica da matemática, principalmente, em relação às nomenclaturas, agora vamos para a sugestão de algumas atividades que podem ser feitas como forma de aproximar o contexto do uso de coordenadas na vida real.

Uso de mapas para localização de pontos

No cotidiano, o principal uso de coordenadas está na forma de se localizar em um mapa. Antigamente, para consultar um endereço em um mapa impresso, era necessário utilizar um conhecimento de coordenadas no qual o endereço era localizado em uma coordenada, formada por uma letra e número, para ser consultado em uma determinada página do mapa. Essa era uma forma de contextualizar um conceito de coordenadas para os estudantes na prática. No entanto, já nos dias de hoje, com modernos sistemas de mapas digitais, esse exemplo se tornou arcaico e poucos estudantes podem entender essa tentativa de contextualização, que pode ser tão longe quanto um problema fictício apresentado em um livro didático.

Porém, outra forma de construir esse contexto seria motivar os estudantes a construir os próprios mapas para caminhos relativamente familiares, por exemplo, como o trajeto feito todo dia da casa para a escola ou vice-versa. E essa foi uma das atividades propostas na tese de doutorado de Afrânio Austregésilo Thiel, defendida na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) em 2013.

A atividade em questão foi proposta para uma turma de 9º ano do Ensino Fundamental para introduzir o conceito de plano cartesiano aos alunos. O objetivo principal dessa atividade é familiarizar o estudante com diferentes tipos de representações de uma localização: seja por desenhos, por linguagem natural (a escrita) para posteriormente apresentar uma nova possibilidade como gráficos e notações algébricas.

Um exemplo dessa representação seria algo desse tipo:

Exemplo de um mapa fictício representando o caminho de casa até a escola por desenhos.
Crédito da imagem: desenho próprio.

Se o estudante fosse explicar esse trajeto em linguagem natural, poderia ser algo desse tipo:

“Para chegar da minha casa até a escola, é preciso chegar até a primeira esquina, virar à direita e em seguida à esquerda”.

Obviamente, esse recurso linguístico pode variar de aluno para aluno, de acordo com representações do próprio mapa.

Posteriormente, é possível imprimir um mapa local em uma folha quadriculada e pedir para que os estudantes localizem a sua casa e a escola com uma marcação X de cores diferentes. Depois, orientando-se pelas retas da própria malha quadriculada, construir duas retas que têm um ponto em comum e que formam um ângulo de 90º (perpendicular). Essas retas perpendiculares entre si serviriam como eixo de referência para medir as respectivas distâncias entre um ponto e outro marcado no mapa, iniciando uma orientação de plano cartesiano.

Exemplo de um mapa impresso numa folha quadriculada.
Créditos: Google Maps.

No próximo passo, é importante que os estudantes façam a discussão entre eles para resolver qual seria a melhor forma de fazer as marcações nesse eixo construído como referência para poder medir a distância a partir dele.

Se você quiser continuar a ver os próximos passos das atividades, que é bastante extenso, recomendo ler diretamente na tese de Thiel (2013).

Essas são algumas formas de introduzir o conceito de plano cartesiano, sem necessariamente recorrer diretamente na representação formal do plano, das representações gráficas e da linguagem algébrica. Esses dois últimos em especial, é a forma como costumeiramente é apresentada nos livros didáticos, mas, para quem já teve a experiência de dar aula sobre esse conteúdo, nem sempre é frutífera. Por isso, mais do que o resultado imediato em si, enquanto professor, é importante apresentar outros métodos. 

Alguns estudantes poderão estar mais interessados na parte histórica e talvez queiram ler mais sobre a história de Descartes, outros já poderão ficar interessados em estudar cartografia e suas relações. Poderão ter ainda aqueles que pensem em encontrar soluções digitais para construção de mapas entre outras. O aprendizado se dá por estímulos diversos, por isso, é importante apresentar opções e respeitar as preferências pessoais. Além disso, a aprendizagem não ocorre necessariamente focando apenas na memorização de conteúdos, mas no processo de saber utilizar melhor as suas competências e habilidades para lidar com problemas do dia a dia.

Como aprender Geometria Plana? 

Publicado em 31/07/2020 por Luzia Kikuchi

Quando eu era estudante, lembro de ter estudado o conteúdo de Geometria Plana pela primeira vez na 7ª ou 8ª série, que seria o equivalente aos anos finais do Ensino Fundamental de hoje 8º ou 9º ano. Antes disso, havia uma disciplina chamada Desenho Geométrico ou D.G. que se focava apenas em construções geométricas com régua e compasso.

Como eu disse neste post aqui, sou uma pessoa que tem muita dificuldade para desenhar. Ou seja, não me dou muito bem em qualquer tipo de atividade que requer um pouco mais de precisão e habilidade manual. E, nesse caso, usar régua e compasso, principalmente este último instrumento, sempre foi uma tortura!

Essa versão de compasso já é mais moderna que a clássica com ponta de grafite.

O que mais me tirava do sério com o compasso era justamente deixá-lo funcional. Não sei se há compassos mais modernos hoje em dia, mas, naquela época, era necessário preparar o seu compasso. Para isso, você deve deixar o grafite exatamente na altura da agulha, lixá-la para fazer o chanfro* para só depois começar a fazer as suas construções. Sem contar as vezes que era necessário andar com uma chave de fenda para, vez ou outra, apertar o parafuso que vai afrouxando com o tempo. 

*Quem não faz a mínima ideia do que eu estou dizendo, encontrei este vídeo aqui que explica como funciona.

Com o tempo, a disciplina de Desenho Geométrico foi ficando cada vez mais rara de se ver nas escolas. Eu mesma só lecionei essa disciplina bem no começo da minha carreira de professora há pouco mais de 10 anos. Conheço colegas da faculdade que nunca viram essa disciplina no ensino básico.

Acredito que uma das razões do assunto Desenho Geométrico ter ficado em desuso é por não haver cobrança de questões envolvendo construções geométricas nos exames de vestibular nos dias de hoje (salvo provas de habilidades específicas). Desse modo, o ensino de Geometria passou a focar prioritariamente em problemas de cálculo de áreas, superfícies e volumes.

Outra razão parece ter sido a deficiência na formação de professores para lecionar esse conteúdo. Poucos cursos de licenciatura contemplam disciplinas que ensinem a manusear os instrumentos de desenho, exceto alunos que realizam aulas com profissionais específicos da área de desenho como linguagem arquitetônica ou em Arte. 

Um trabalho que tem problematizado essa questão da importância de retomar o currículo de desenho nas escolas é da Regina Kopke (2007), professora da Universidade Federal de Juiz de Fora, que apresentou no Graphica de 2007 (International Conference on Graphics Engineering for Arts and Design) um trabalho intitulado “O retorno do desenho nas escolas: revendo o discutido, 13 anos depois!”.

E se consultarmos a atual BNCC (Base Nacional Comum Curricular), existem as seguintes menções sobre o ensino de Matemática com régua e compasso. Isso parece indicar a importância de reintroduzir o ensino de desenho geométrico nas escolas.

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. 

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 

(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

Só para deixar mais claro, o código entre parênteses (EFXXMAYY) significa o seguinte:

EF: Ensino Fundamental

XX: Ano correspondente ao ciclo do Ensino Fundamental para que tais habilidades possam ser desenvolvidas.

MA: Matemática

YY: Número sequencial da habilidade dentro daquele ano.

Veja que essas habilidades priorizam a construção com régua e compasso, mas, na última habilidade (EF09MA15), há uma menção sobre a utilização de softwares para construção de uma figura geométrica.

É importante dominar o uso dos instrumentos de desenho, porém, com a utilização dos softwares, esse trabalho pode ser bastante facilitado, principalmente, para compreender as propriedades de construção de uma figura geométrica que se torna fundamental para resolver problemas envolvendo o conteúdo de Geometria.

Talvez, para quem é da área de Matemática, já tenha ouvido falar em alguns exemplos de softwares de geometria dinâmica como o GeogebraiGeom ou o Cabri Géometrè. Eles são excelentes ferramentas para construção de figuras geométricas e, consequentemente, ajudar no aprendizado dessa disciplina. No entanto, eles são como um “quadro branco”, isto é, você só conseguirá tirar proveito se souber um pouco de Geometria. Isso significa que só a ferramenta por si só não te ajuda a aprender algum conteúdo do zero. Para isso, seria necessário receber um plano didático ou alguém para acompanhar as atividades a serem implementadas.

Como alternativa para isso, recomendo três aplicativos: Pythagorea (no plano triangular e quadriculado) e o Euclidea. Todos são da mesma empresa chamada Horis International Limited baseada em Hong Kong. Esses três aplicativos estão disponíveis tanto para plataforma Android quanto para o iOS. No site oficial, você também pode conferir outros aplicativos da empresa.

Todos os aplicativos possuem um tutorial passo a passo de como jogar e desenhar determinadas construções geométricas tornando uma experiência bastante intuitiva e agradável para os iniciantes.

No vídeo você pode conferir a resenha que fiz sobre cada um desses aplicativos. A experiência será baseada na plataforma Android, então, pode ser que uma ou outra funcionalidade seja diferente da versão para o iPhone ou iPad.

Para terminar, se você quiser ver demonstrações mais formais de algumas construções apresentadas no Euclidea, tem uma dissertação de mestrado defendida em 2017 pelo João Rodrigues de Sousa Filho, na Universidade Federal do Ceará, que apresenta uma análise de algumas fases do jogo.

Bem, essas foram as três dicas para aprender Geometria de uma forma mais agradável. Conte nos comentários o que você achou desses aplicativos!