Desafios matemáticos do Ian Stewart

Publicado em 28/08/2020 por Luzia Kikuchi

Hoje apresento a vocês um livro que está me deixando entretida por meses (isso porque não dou conta de resolver todos os desafios tão rápido assim). Trata-se do “Almanaque das curiosidades matemáticas” de Ian Stewart.

Este autor é britânico, professor da Warwick University e que se tornou mundialmente conhecido pelos livros de divulgação científica relacionado à Matemática. Ele já tem mais de dez livros publicados e traduzidos em vários idiomas.

Eu comprei os primeiros livros do Ian Stewart em 2012, mas foi quando comecei o doutorado que comecei a conhecer outros livros dele. Gosto muito do seu senso de humor e da forma como contas as curiosidades matemáticas.

Um trabalho muito relevante do Ian Stewart é mostrar que a Matemática não é tão “linear” quanto parece nos livros didáticos. Para quem estuda um pouco de História da Matemática, já chegaria a essa constatação, mas a grande maioria dos livros de história são muito técnicos e, provavelmente, de difícil acesso à população em geral (sem contar que, na maioria das vezes, são bem caros). Talvez um livro que consegue apresentar a história com uma narrativa menos técnica é o Rainha das Ciências do Gilberto Garbi, mas ainda assim não deixa de ser um livro facilmente lido por leigos.

Já no caso do Almanaque das Curiosidades Matemáticas, obviamente, há problematizações muito específicas para quem entende matemática, mas outras que são bem simpáticas e que valem como desafio para uma tarde monótona de domingo.

Um desses desafios que eu postei no meu instagram, foi a dos gatos da Sra. Smith. Que usa um pouco de charada e conhecimento matemático. Mais especificamente, de probabilidade, como podem ver a seguir:

Para quem já está acostumado a resolver problemas de probabilidade, não é muito difícil chegar na resposta, já que se trata de um conceito de probabilidade clássica e condicional (sabe aquela história dos “sorteios de uma bolinha”?).

Porém, o que eu achei desafiador nesse problema é encontrar todas as soluções possíveis. Quando você calcula essa probabilidade, chegará a uma equação de segundo grau (sim, aquela que usa a fórmula de Bháskara, que muita gente fala que “não serve para nada” no cotidiano). Porém, para encontrar todas as soluções, é necessária uma certa dose de engenhosidade para obter os resultados.

Felizmente, o autor não é tão “carrasco” assim com o leitor (afinal de contas, trata-se de um livro de divulgação para trazer mais simpatizantes para a área de Matemática) e molda o problema na menor solução possível para essa equação. Porém, na resolução ele não explica como obter as próximas soluções, e foi aí que decidi me aventurar a calcular isso da maneira mais rápida possível.

Para isso, você pode usar uma planilha do Excel e formatar alguns macros (fórmulas) para calcular vários valores ao mesmo tempo. Afinal de contas, a tecnologia veio para facilitar algumas tarefas mecânicas. E é assim que deveríamos aproveitar melhor o uso de Tecnologias na Educação. (Não vou falar sobre esse tópico neste post para não me prolongar e fugir do assunto. Mas, uma hora quero falar sobre o ensino de tecnologias na Educação).

Outra forma é criar gráficos no Geogebra e verificar a intersecção das duas retas que compões este problema. Essa também seria uma forma muito mais inteligente de calcular as soluções, além de trabalhar com Geometria Analítica, por exemplo.

Os dois arquivos com essas alternativas podem ser consultados neste link ou em Materiais Complementares no menu do blog.

Se você quiser conhecer qual é esse desafio, eu apresento neste vídeo e deixei a minha gata, Nala, para fazer a narração da resolução. Espero que gostem!

Para quem quiser conhecer os dois livros que citei neste texto, segue:

Título: Almanaque das Curiosidades Matemáticas
Autor: Ian Stewart
Editora: Zahar
Crédito da imagem: amazon.com.br

Título: Rainha das Ciências
Autor: Gilberto Geraldo Garbi
Editora: Livraria da Física
Crédito da imagem: amazon.com.br

Conte nos comentários se você gosta de desafios matemáticos. Me indique algum que você acha interessante!

Como aprender Geometria Plana? 

Publicado em 31/07/2020 por Luzia Kikuchi

Quando eu era estudante, lembro de ter estudado o conteúdo de Geometria Plana pela primeira vez na 7ª ou 8ª série, que seria o equivalente aos anos finais do Ensino Fundamental de hoje 8º ou 9º ano. Antes disso, havia uma disciplina chamada Desenho Geométrico ou D.G. que se focava apenas em construções geométricas com régua e compasso.

Como eu disse neste post aqui, sou uma pessoa que tem muita dificuldade para desenhar. Ou seja, não me dou muito bem em qualquer tipo de atividade que requer um pouco mais de precisão e habilidade manual. E, nesse caso, usar régua e compasso, principalmente este último instrumento, sempre foi uma tortura!

Essa versão de compasso já é mais moderna que a clássica com ponta de grafite.

O que mais me tirava do sério com o compasso era justamente deixá-lo funcional. Não sei se há compassos mais modernos hoje em dia, mas, naquela época, era necessário preparar o seu compasso. Para isso, você deve deixar o grafite exatamente na altura da agulha, lixá-la para fazer o chanfro* para só depois começar a fazer as suas construções. Sem contar as vezes que era necessário andar com uma chave de fenda para, vez ou outra, apertar o parafuso que vai afrouxando com o tempo. 

*Quem não faz a mínima ideia do que eu estou dizendo, encontrei este vídeo aqui que explica como funciona.

Com o tempo, a disciplina de Desenho Geométrico foi ficando cada vez mais rara de se ver nas escolas. Eu mesma só lecionei essa disciplina bem no começo da minha carreira de professora há pouco mais de 10 anos. Conheço colegas da faculdade que nunca viram essa disciplina no ensino básico.

Acredito que uma das razões do assunto Desenho Geométrico ter ficado em desuso é por não haver cobrança de questões envolvendo construções geométricas nos exames de vestibular nos dias de hoje (salvo provas de habilidades específicas). Desse modo, o ensino de Geometria passou a focar prioritariamente em problemas de cálculo de áreas, superfícies e volumes.

Outra razão parece ter sido a deficiência na formação de professores para lecionar esse conteúdo. Poucos cursos de licenciatura contemplam disciplinas que ensinem a manusear os instrumentos de desenho, exceto alunos que realizam aulas com profissionais específicos da área de desenho como linguagem arquitetônica ou em Arte. 

Um trabalho que tem problematizado essa questão da importância de retomar o currículo de desenho nas escolas é da Regina Kopke (2007), professora da Universidade Federal de Juiz de Fora, que apresentou no Graphica de 2007 (International Conference on Graphics Engineering for Arts and Design) um trabalho intitulado “O retorno do desenho nas escolas: revendo o discutido, 13 anos depois!”.

E se consultarmos a atual BNCC (Base Nacional Comum Curricular), existem as seguintes menções sobre o ensino de Matemática com régua e compasso. Isso parece indicar a importância de reintroduzir o ensino de desenho geométrico nas escolas.

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. 

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 

(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

Só para deixar mais claro, o código entre parênteses (EFXXMAYY) significa o seguinte:

EF: Ensino Fundamental

XX: Ano correspondente ao ciclo do Ensino Fundamental para que tais habilidades possam ser desenvolvidas.

MA: Matemática

YY: Número sequencial da habilidade dentro daquele ano.

Veja que essas habilidades priorizam a construção com régua e compasso, mas, na última habilidade (EF09MA15), há uma menção sobre a utilização de softwares para construção de uma figura geométrica.

É importante dominar o uso dos instrumentos de desenho, porém, com a utilização dos softwares, esse trabalho pode ser bastante facilitado, principalmente, para compreender as propriedades de construção de uma figura geométrica que se torna fundamental para resolver problemas envolvendo o conteúdo de Geometria.

Talvez, para quem é da área de Matemática, já tenha ouvido falar em alguns exemplos de softwares de geometria dinâmica como o GeogebraiGeom ou o Cabri Géometrè. Eles são excelentes ferramentas para construção de figuras geométricas e, consequentemente, ajudar no aprendizado dessa disciplina. No entanto, eles são como um “quadro branco”, isto é, você só conseguirá tirar proveito se souber um pouco de Geometria. Isso significa que só a ferramenta por si só não te ajuda a aprender algum conteúdo do zero. Para isso, seria necessário receber um plano didático ou alguém para acompanhar as atividades a serem implementadas.

Como alternativa para isso, recomendo três aplicativos: Pythagorea (no plano triangular e quadriculado) e o Euclidea. Todos são da mesma empresa chamada Horis International Limited baseada em Hong Kong. Esses três aplicativos estão disponíveis tanto para plataforma Android quanto para o iOS. No site oficial, você também pode conferir outros aplicativos da empresa.

Todos os aplicativos possuem um tutorial passo a passo de como jogar e desenhar determinadas construções geométricas tornando uma experiência bastante intuitiva e agradável para os iniciantes.

No vídeo você pode conferir a resenha que fiz sobre cada um desses aplicativos. A experiência será baseada na plataforma Android, então, pode ser que uma ou outra funcionalidade seja diferente da versão para o iPhone ou iPad.

Para terminar, se você quiser ver demonstrações mais formais de algumas construções apresentadas no Euclidea, tem uma dissertação de mestrado defendida em 2017 pelo João Rodrigues de Sousa Filho, na Universidade Federal do Ceará, que apresenta uma análise de algumas fases do jogo.

Bem, essas foram as três dicas para aprender Geometria de uma forma mais agradável. Conte nos comentários o que você achou desses aplicativos!

Por onde começar a estudar matemática?

Publicado em 05/06/2020 por Luzia Kikuchi

O título deste post revela uma das perguntas que recebi bastante ao longo da minha carreira como professora, mas também fiquei surpresa que aquilo não se limitava apenas aos meus estudantes. Notei isso quando vi muitas pessoas perguntando isso no Quora.

No entanto, fiquei um tanto intrigada quando vi que muitos respondem a essa pergunta resumindo o aprendizado de matemática a ter “foco e determinação”. Ora, se isso fosse verdade, todas as pessoas que tiverem essas características deveriam ser brilhantes em matemática. E por que você não precisaria dessas características para estudar outras disciplinas? Não vou me estender a esse assunto “filosófico”, mas tenho algumas explicações que podem ajudar a entender por que é difícil aprender matemática para muita gente e por onde começar de fato a estudar para essa disciplina.

A última evolução do nosso cérebro

Os estudos científicos evidenciam que a diferença entre os primatas, como chimpanzés, e o cérebro humano aconteceu a partir do desenvolvimento de uma região do cérebro chamado de neocórtex. Embora o neocórtex também exista em outras espécies, além do ser humano, a principal diferença está em seu tamanho. Comparativamente, esse tamanho chega a ser o dobro de um chimpanzé. 

Porém, estudos mais recentes, divulgados na revista estadunidense Science mostraram que a principal diferença entre o cérebro de um chimpanzé com o de um ser humano seria a sua neuroplasticidade*. Isso significa que, no caso dos chimpanzés, o fator genético influencia muito mais em sua “inteligência” do que nos seres humanos. Ou seja, o ser humano tem capacidade para ficar “mais inteligente” de acordo com o meio que conviver e também com novos estímulos.

*neuroplasticidade é a capacidade do cérebro em moldar-se para formar novas conexões para aprender novas funções e habilidades.

O que isso tem a ver com a Matemática? 

O neocórtex é uma região do cérebro responsável por processar habilidades de abstração. Isso significa que é muito mais inato para o ser humano desenvolver habilidades mais concretas ligadas às funções orgânicas e concretas do que pensar de forma abstrata.

E se formos buscar na História da Matemática, podemos ter uma noção de quando começou o raciocínio abstrato.

No Ocidente, os primeiros registros matemáticos que se tem conhecimento são dos egípcios e babilônios, a uns 5.000 anos antes de Cristo (a.C). Um dos registros mais antigos, conhecidos como papiros de Rhindi, consistia em 85 problemas envolvendo contagem de gado e bens. Ou seja, a Matemática nasceu de uma situação prática.

Mas foram com os gregos, principalmente, com o nascimento da escola ou academia de Platão (400 a.C) é que o conceito de abstração e dedução, como é conhecida hoje na Matemática, ganhou força e começou a ser passada para as novas gerações.

Já o conceito de Álgebra, como o conhecemos hoje com símbolos e abreviações, acredita-se que nasceu com Diofanto de Alexandria, 250 anos depois de Cristo (d.C), posteriormente com as ideias do hindu Brahmagupta (628 d.C) que fez uma aproximação do número pi e, por fim, com Al-Khwarizmi (800 d.C) que introduz a sistematização dos símbolos para resolver problemas matemáticos. Inclusive o nome “Álgebra”, parece também ter nascido derivado de uma palavra em árabe (al-jabr) que significa restauração ou “completação”, segundo Boyer (2012). É a partir daí que se começou a desenvolver a representação das ideias algébricas com a utilização de símbolos, sem o uso exclusivo de palavras.

Mas, foi só no século XVI é que os símbolos de soma (+) e subtração (-) foram sistematizados por François Viéte e as letras do alfabeto para representação de incógnitas, como conhecemos hoje, por Descartes por volta de 1637.

E foi com as ideias de Descartes que Newton conseguiu desenvolver as ideias de Cálculo estudado na matemática mais avançada e as respectivas notações utilizadas hoje foram idealizadas por Leibniz no fim do século XVII.

A conclusão que eu quero chegar ao contar toda essa cronologia da História da Matemática é que, enquanto o neocórtex tem aproximadamente 25 milhões de anos, o pensamento matemático começou a “apenas” 5.000 anos atrás e sem contar que a forma abstrata, que é a parte na qual os alunos têm mais dificuldade, iniciou-se há 1.800 anos e consolidando-se como conhecemos hoje há aproximadamente 320 anos! 

Perto do nosso cérebro “ancião” que tem 25 milhões de anos, isso é quase nada. Por isso, é perfeitamente plausível que seja mais fácil comer aquele doce ou aprender algo que possa ser visualizado do que tentar entender a Álgebra, por exemplo.

Sem contar que, particularmente no caso do Brasil, a obrigatoriedade do ensino básico, integral e público, passou a ser regulada com a Constituição de 1934, mas que contemplava apenas o ensino primário (correspondente ao ensino fundamental). E, pasmem! Somente em 2009, com uma Emenda Constitucional que o ensino infantil e médio passou a ser obrigatório. Por isso, não é de se impressionar porque o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) passou a ter um papel importante na vida dos estudantes que querem ingressar no ensino superior a partir de 2010, com a criação do SiSU (Sistema de Seleção Unificada). Não vou me estender mais nesta questão para não fugir do assunto principal deste post. 

Porém, caro leitor ou leitora, a boa notícia é que, graças a essa neuroplasticidade do cérebro humano, se você estimular corretamente as habilidades necessárias, é possível aprender matemática. É óbvio que o tempo de aprendizagem pode variar de pessoa para pessoa, de acordo com os estímulos que você e os seus ancestrais receberam para tal habilidade. Isso significa que quanto mais contato seus ancestrais tiveram com alguma habilidade é possível que as próximas gerações venham “pré-programadas” com ela. Sem contar que o contexto sociocultural do momento em que vive também torna certos tipos de aprendizagem muito mais propícios do que em outros momentos. Mas, nada te impede de desenvolver a partir de agora e você pode aprender se quiser.

Porém, para estimular o cérebro de forma correta, eu não acredito que seja suficiente apenas ter “foco e determinação”. O ideal é estimular o cérebro de forma eficiente, e para isso, vou dar algumas dicas:

Dica 1: estude por objetivos

A melhor forma de ter um parâmetro por onde começar a estudar matemática é criar objetivos. Isto é: você precisa aprender matemática por qual motivo? Seria para uma prova da escola, universidade, concurso público ou vestibular?

Entenda que, dependendo do seu objetivo, alguns conteúdos serão mais importantes do que outros. Por isso, você precisa começar por esse ponto de partida.

Dica 2: procure por provas anteriores

Seja para qualquer um desses objetivos anteriores que escolher, a forma mais eficiente de estudar é saber quais tipos de exercícios são mais cobrados.

Tendo acesso a essas provas (o que costuma não ser impossível hoje em dia com o Google) você pode se testar e para saber o quanto de conhecimento que tem agora sobre o assunto. Então, de acordo com o resultado, você terá uma noção por onde começar a estudar.

Agora, se você não tem nenhuma prova anterior, mas tem uma ideia do conteúdo que quer se testar, eu criei uma sala de aula virtual no Khan Academy para que você possa escolher os respectivos tópicos para praticar.

Entre pelo link: https://pt.khanacademy.org/join/TFZQK3G5 e acesse gratuitamente com o seu perfil do Google ou do Facebook. Se você quiser, pode também criar um usuário só para acessar a plataforma.

Quando você entrar na plataforma, clique em Cursos na barra lateral esquerda e você verá uma janela igual a esta:

Tela 1: Escolhendo o seu ano.

Depois de inserir o seu ano de estudo, na próxima tela, você deverá escolher os conteúdos que quer revisar (Eu escolhi, a título de exemplo, fundamentos de matemática e pré-álgebra).

Tela 2: Escolhendo o conteúdo.

Então, na próxima tela, você deve escolher um dos cursos que escolheu e clicar no botão “Iniciar”.

Tela 3: Iniciando o curso.

Quando você iniciar o curso, haverá os tópicos na tela e, em alguns deles, terá um botão escrito “Praticar”. É aí que você vai clicar para saber se já domina aquele conteúdo. A própria plataforma da Khan Academy vai te indicar um vídeo ou uma explicação relacionada àquele conteúdo.

Tela 4: Praticando.

A grande vantagem da Khan Academy é que você consegue ver o seu progresso e ganhar “recompensas” ao atingir certos níveis. Isso é uma forma de manter-se motivado para continuar estudando (lembra do “cérebro festeiro” que comentei em um post anterior?).

Dica 3: não faça exercícios exaustivos por repetição

Assim como falei em um post anterior e também no vídeo. Não fique repetindo exercícios muito parecidos exaustivamente. O ideal é que você escolha 1 ou 2 de cada nível. O esquema ideal seria assim:

  1. Nível fácil: aqueles que você aplica diretamente a fórmula, sem muita elaboração.
  2. Nível médio: aqueles que já problematizam um pouco o conteúdo, mas que ainda é possível deduzir rapidamente a aplicação.
  3. Nível difícil: exercícios mais elaborados que exigem um pouco mais de criatividade para interpretar e chegar no resultado final.

Dica 4: não estude tudo de uma vez

Isso significa que você não deve estudar muitos conteúdos de uma vez só e de forma profunda. Vá fazendo aos poucos. Isso está ligado com o método pomodoro de obter pequenas recompensas para dar tempo para o seu cérebro descansar e, assim, manter a concentração por mais tempo.

E também há um estudo que diz que a melhor forma de estudar e obter bons resultados em exames é mesclar um pouco da aprendizagem mecânica com a profunda.

Tente seguir essas dicas e bons estudos!

Se você tem interesse de saber mais sobre a História da Matemática, recomendo os seguintes livros:

Título: História da Matemática
Autores: Carl Boyer e Uta C. Merzbach (Tradução de Helena Castro)
Editora: Blucher
Crédito da imagem: http://www.amazon.com.br

Obs.: Esta edição está esgotada na Amazon, mas talvez seja possível encontrar em outras livrarias ou até em sebos online.

Título: Introdução à História da Matemática
Autor: Howard Eves
Editora: Unicamp
Crédito da imagem: http://www.amazon.com.br

Título: História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas.
Autora: Tatiana Roque
Editora: Zahar
Crédito da imagem: http://www.amazon.com.br

Assista também ao vídeo deste assunto de forma resumida:

Como resolver problemas de Análise Combinatória?

E sem precisar decorar fórmulas!

Publicado em 29/05/2020 por Luzia Kikuchi

Para quem chegou no Ensino Médio, um dos conteúdos que os estudantes costumam ter muitas dificuldades é o de Análise Combinatória.

Os problemas de Análise Combinatória requerem um certo treino e criatividade para resolvê-los, mas boa parte delas exige mais a compreensão do cenário proposto pelo problema do que a complexidade dos cálculos em si.

Uma das razões desse conteúdo ser tão temido é o pouco tempo de contato com tais problemas. Desenvolver um raciocínio crítico e criativo exige um tempo para habituação do aluno. Assim, muitas vezes, a falta de compreensão dos problemas também deriva do tempo limitado de apresentação e trabalho com tal conteúdo.

Outra razão pela qual esse conteúdo se torna tão difícil é a mecanização de resolução dos problemas. Dessa forma, imaginar quando uma situação é de arranjocombinação ou permutação acaba sendo muito vago, se não houver a compreensão plena do que está sendo proposto no problema.

Enquanto professora de Matemática, já pensei em algumas formas de tornar esse conteúdo mais inteligível para os alunos. Uma das maneiras foi tentar não valorizar inicialmente as fórmulas, mas o *Princípio Fundamental a Contagem (PFC) ou o Princípio da Multiplicação.

*Princípio Fundamental da Contagem é a forma como uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, depois de ter tomada a decisão d1, posso tomar a decisão d2 de maneiras, então o número de maneiras de tomar a decisão é igual a multiplicação de cada uma dessas decisões d1 e d2 que é x . y

Fonte: MORGADO et al., 2004, p. 18

Nessa busca, encontrei uma dissertação de mestrado muito interessante da Rafaela Gonçalves do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), que fez um estudo comparativo com duas turmas em que lecionava: uma aplicando apenas o PFC para resolução dos problemas e na outra por meio de aplicação de fórmulas.

Inicialmente, a pesquisadora notou que o desempenho entre os estudantes foi muito similar, mas após algum tempo, com a reaplicação das mesmas atividades, notou que aqueles que optaram por resolver pela PFC conseguiam ter mais sucesso na resolução desses problemas do que os orientados por fórmulas.

Uma observação interessante que a pesquisadora também faz é que os estudantes que optaram por utilizar fórmulas para resolver os problemas apresentam uma certa resistência para utilizar o PFC como alternativa. Enquanto os que utilizaram o PFC não tinham problemas de fazer a transição para o uso de fórmulas.

Esse estudo mostra que a aplicação mecânica de fórmulas não confere um aprendizado significativo para os alunos. Além disso, perde-se o que é fundamental: saber interpretar problemas.

Por fim, a pesquisadora incentiva o ensino por Resolução de Problemas ou Metodologias Ativas, do que sou também a favor. No entanto, a grande barreira desses tipos de metodologias de ensino seria a certa insegurança do professor em aplicá-las. 

Quando lecionei para o curso de Licenciatura em Matemática, consegui notar o quanto os alunos ainda estão habituados a trabalhar somente com problemas das quais sabem a resposta de antemão. Trabalhar com problemas nos quais não se pode prever todas as resoluções antecipadamente criam muito receio neles e, provavelmente, em muitos professores que estão na ativa.

Acredito que esse “medo” só deve se minimizar quando o professor tiver certa segurança no papel que deve ser para o estudante. Se aceitarmos o fato de que não somos o “detentor do conhecimento”, mas o mediador que ajuda a compreender os conceitos, teríamos menos resistência em trabalhar com a resolução de problemas. 

No entanto, na prática isso também não é tão simples assim, pois, muitas vezes, o fato do professor não saber todas as respostas é visto como um “estigma” pela sociedade. Não entrarei em detalhes nesse mérito, pois há várias questões socioculturais a respeito do papel do professor na sociedade que acabaria desviando o assunto deste post.

E como resolver problemas de análise combinatória?

De longe pretendo criar um “manual infalível” para resolver problemas de análise combinatória. No entanto, os passos que vou sugerir a seguir podem ajudar a compreender os problemas clássicos de análise combinatória, pois desviam da forma que habitualmente o conteúdo é abordado. Dessa forma, ter uma variedade de opções permite ao estudante a autonomia para escolher o melhor método de experimentação para resolver outros problemas semelhantes.

Como o texto ficaria muito longo, optei por explicar o passo a passo neste vídeo. Clique para assistir.

Inspirada nessa temática, também indico o trabalho da professora Wanessa Trevizan do Instituto Federal de São Paulo cujo livro “Como ensinar análise combinatória”, derivada da sua pesquisa de mestrado, também aborda os aspectos didáticos sobre o conteúdo de Análise Combinatória. 

É uma leitura recomendada para professores e pessoas interessadas em ingressar na pós-graduação que gostariam de aprofundar sobre a teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, teórico francês reconhecido mundialmente pelas suas contribuições na Didática da Matemática e laureado com a medalha Felix Klein* em 2003.

* A medalha Felix Klein é um prêmio criado pela Comissão Internacional de Instrução Matemática, conhecida como ICMI, para reconhecer os trabalhos de grande impacto em Educação Matemática.

capa%20como%20ensinar%20análise%20combinatória.png

Título: Como ensinar análise combinatória
Autores: Wanessa Aparecida Trevizan e Antonio Carlos Brolezzi
Editora: Livraria da Física
Crédito da imagem: acervo pessoal

Título: Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios (6ª edição)
Autores: Augusto César de Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez. 
Editora: Sociedade Brasileira de Matemática (Coleção do Professor de Matemática)
Crédito da imagem: acervo pessoal

Deixe nos comentários qual outro conteúdo específico de matemática você tem dificuldade e gostaria que eu explicasse em detalhes.

Anexo:

Qual a diferença essencial entre Combinação, Arranjo e Permutação?

Quando eu calculo uma combinação de um conjunto finito, a ordenação dos elementos que pertencem a esses subconjuntos, originados do conjunto finito, não fazem diferença.

Por exemplo, um problema clássico de análise combinatória usando combinação seria o seguinte:

Trabalho no departamento de Recursos Humanos e preciso selecionar dentre os 12 currículos que recebi nos últimos dias 5 candidatos para ocuparem a vaga de analista de sistemas para serem alocados em um projeto específico da empresa. Todos ocuparão o mesmo cargo e não haverá distinção de salário entre eles. De quantas maneiras distintas posso fazer essa escolha?

Suponha que eu tenha selecionado os currículos dos seguintes candidatos fictícios primeiramente na seguinte ordem: André, Marcelo, Rubens, João e Pedro. Mas, se no dia da contratação, eu fizer a chamada dos candidatos numa nova ordem: Pedro, Rubens, João, André e Marcelo, o grupo ainda continuará sendo o mesmo? A resposta é sim.

Para que esse problema passe a ser de arranjo, a única diferença do enunciado seria se houvesse distinção no cargo ocupado ordenando da seguinte forma: 1º cargo seria para diretor, 2º para gerente de projetos, 3º para gerente de produtos, 4º para líder de projeto e 5º para analista. Nesse caso, a ordem que cada candidato será chamado, dentro do grupo de 5 pessoas, faz a diferença.

E, por último, a permutação é simplesmente o número de formas diferentes que posso ordenar um determinado conjunto.

Por essa razão, sabendo o Princípio Fundamental da Contagem e a permutação é suficiente para resolver problemas de combinação, como pode ser visto na explicação do vídeo.

Uma legenda rápida que criei para quando tiver dúvidas seria a seguinte:

Arranjo: um arranjo de flores, como um buquê, é feito de forma organizada e equilibrada.

Combinação: é o mesmo que união ou agrupamento.

Permutação: o termo “permuta” é famoso dentro do YouTube e dos influenciadores digitais. Trata-se de uma negociação de troca de produtos e serviços oferecidos, em vez de recolher um pagamento em dinheiro. Isso significa que a troca é recíproca, ambos trocam algo que consideram de mesmo valor.