Como resolver problemas de Análise Combinatória?

E sem precisar decorar fórmulas!

Publicado em 29/05/2020 por Luzia Kikuchi

Para quem chegou no Ensino Médio, um dos conteúdos que os estudantes costumam ter muitas dificuldades é o de Análise Combinatória.

Os problemas de Análise Combinatória requerem um certo treino e criatividade para resolvê-los, mas boa parte delas exige mais a compreensão do cenário proposto pelo problema do que a complexidade dos cálculos em si.

Uma das razões desse conteúdo ser tão temido é o pouco tempo de contato com tais problemas. Desenvolver um raciocínio crítico e criativo exige um tempo para habituação do aluno. Assim, muitas vezes, a falta de compreensão dos problemas também deriva do tempo limitado de apresentação e trabalho com tal conteúdo.

Outra razão pela qual esse conteúdo se torna tão difícil é a mecanização de resolução dos problemas. Dessa forma, imaginar quando uma situação é de arranjocombinação ou permutação acaba sendo muito vago, se não houver a compreensão plena do que está sendo proposto no problema.

Enquanto professora de Matemática, já pensei em algumas formas de tornar esse conteúdo mais inteligível para os alunos. Uma das maneiras foi tentar não valorizar inicialmente as fórmulas, mas o *Princípio Fundamental a Contagem (PFC) ou o Princípio da Multiplicação.

*Princípio Fundamental da Contagem é a forma como uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, depois de ter tomada a decisão d1, posso tomar a decisão d2 de maneiras, então o número de maneiras de tomar a decisão é igual a multiplicação de cada uma dessas decisões d1 e d2 que é x . y

Fonte: MORGADO et al., 2004, p. 18

Nessa busca, encontrei uma dissertação de mestrado muito interessante da Rafaela Gonçalves do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), que fez um estudo comparativo com duas turmas em que lecionava: uma aplicando apenas o PFC para resolução dos problemas e na outra por meio de aplicação de fórmulas.

Inicialmente, a pesquisadora notou que o desempenho entre os estudantes foi muito similar, mas após algum tempo, com a reaplicação das mesmas atividades, notou que aqueles que optaram por resolver pela PFC conseguiam ter mais sucesso na resolução desses problemas do que os orientados por fórmulas.

Uma observação interessante que a pesquisadora também faz é que os estudantes que optaram por utilizar fórmulas para resolver os problemas apresentam uma certa resistência para utilizar o PFC como alternativa. Enquanto os que utilizaram o PFC não tinham problemas de fazer a transição para o uso de fórmulas.

Esse estudo mostra que a aplicação mecânica de fórmulas não confere um aprendizado significativo para os alunos. Além disso, perde-se o que é fundamental: saber interpretar problemas.

Por fim, a pesquisadora incentiva o ensino por Resolução de Problemas ou Metodologias Ativas, do que sou também a favor. No entanto, a grande barreira desses tipos de metodologias de ensino seria a certa insegurança do professor em aplicá-las. 

Quando lecionei para o curso de Licenciatura em Matemática, consegui notar o quanto os alunos ainda estão habituados a trabalhar somente com problemas das quais sabem a resposta de antemão. Trabalhar com problemas nos quais não se pode prever todas as resoluções antecipadamente criam muito receio neles e, provavelmente, em muitos professores que estão na ativa.

Acredito que esse “medo” só deve se minimizar quando o professor tiver certa segurança no papel que deve ser para o estudante. Se aceitarmos o fato de que não somos o “detentor do conhecimento”, mas o mediador que ajuda a compreender os conceitos, teríamos menos resistência em trabalhar com a resolução de problemas. 

No entanto, na prática isso também não é tão simples assim, pois, muitas vezes, o fato do professor não saber todas as respostas é visto como um “estigma” pela sociedade. Não entrarei em detalhes nesse mérito, pois há várias questões socioculturais a respeito do papel do professor na sociedade que acabaria desviando o assunto deste post.

E como resolver problemas de análise combinatória?

De longe pretendo criar um “manual infalível” para resolver problemas de análise combinatória. No entanto, os passos que vou sugerir a seguir podem ajudar a compreender os problemas clássicos de análise combinatória, pois desviam da forma que habitualmente o conteúdo é abordado. Dessa forma, ter uma variedade de opções permite ao estudante a autonomia para escolher o melhor método de experimentação para resolver outros problemas semelhantes.

Como o texto ficaria muito longo, optei por explicar o passo a passo neste vídeo. Clique para assistir.

Inspirada nessa temática, também indico o trabalho da professora Wanessa Trevizan do Instituto Federal de São Paulo cujo livro “Como ensinar análise combinatória”, derivada da sua pesquisa de mestrado, também aborda os aspectos didáticos sobre o conteúdo de Análise Combinatória. 

É uma leitura recomendada para professores e pessoas interessadas em ingressar na pós-graduação que gostariam de aprofundar sobre a teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, teórico francês reconhecido mundialmente pelas suas contribuições na Didática da Matemática e laureado com a medalha Felix Klein* em 2003.

* A medalha Felix Klein é um prêmio criado pela Comissão Internacional de Instrução Matemática, conhecida como ICMI, para reconhecer os trabalhos de grande impacto em Educação Matemática.

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Título: Como ensinar análise combinatória
Autores: Wanessa Aparecida Trevizan e Antonio Carlos Brolezzi
Editora: Livraria da Física
Crédito da imagem: acervo pessoal

Título: Análise Combinatória e Probabilidade com as soluções dos exercícios (6ª edição)
Autores: Augusto César de Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e Pedro Fernandez. 
Editora: Sociedade Brasileira de Matemática (Coleção do Professor de Matemática)
Crédito da imagem: acervo pessoal

Deixe nos comentários qual outro conteúdo específico de matemática você tem dificuldade e gostaria que eu explicasse em detalhes.

Anexo:

Qual a diferença essencial entre Combinação, Arranjo e Permutação?

Quando eu calculo uma combinação de um conjunto finito, a ordenação dos elementos que pertencem a esses subconjuntos, originados do conjunto finito, não fazem diferença.

Por exemplo, um problema clássico de análise combinatória usando combinação seria o seguinte:

Trabalho no departamento de Recursos Humanos e preciso selecionar dentre os 12 currículos que recebi nos últimos dias 5 candidatos para ocuparem a vaga de analista de sistemas para serem alocados em um projeto específico da empresa. Todos ocuparão o mesmo cargo e não haverá distinção de salário entre eles. De quantas maneiras distintas posso fazer essa escolha?

Suponha que eu tenha selecionado os currículos dos seguintes candidatos fictícios primeiramente na seguinte ordem: André, Marcelo, Rubens, João e Pedro. Mas, se no dia da contratação, eu fizer a chamada dos candidatos numa nova ordem: Pedro, Rubens, João, André e Marcelo, o grupo ainda continuará sendo o mesmo? A resposta é sim.

Para que esse problema passe a ser de arranjo, a única diferença do enunciado seria se houvesse distinção no cargo ocupado ordenando da seguinte forma: 1º cargo seria para diretor, 2º para gerente de projetos, 3º para gerente de produtos, 4º para líder de projeto e 5º para analista. Nesse caso, a ordem que cada candidato será chamado, dentro do grupo de 5 pessoas, faz a diferença.

E, por último, a permutação é simplesmente o número de formas diferentes que posso ordenar um determinado conjunto.

Por essa razão, sabendo o Princípio Fundamental da Contagem e a permutação é suficiente para resolver problemas de combinação, como pode ser visto na explicação do vídeo.

Uma legenda rápida que criei para quando tiver dúvidas seria a seguinte:

Arranjo: um arranjo de flores, como um buquê, é feito de forma organizada e equilibrada.

Combinação: é o mesmo que união ou agrupamento.

Permutação: o termo “permuta” é famoso dentro do YouTube e dos influenciadores digitais. Trata-se de uma negociação de troca de produtos e serviços oferecidos, em vez de recolher um pagamento em dinheiro. Isso significa que a troca é recíproca, ambos trocam algo que consideram de mesmo valor.

Como atingir metas de longo prazo?

E o que o seu cérebro e o hábito têm a ver com isso

Publicado em 22/05/2020 por Luzia Kikuchi

Em um post anterior, escrevi sobre os desafios do mundo moderno de manter o foco em atividades que exigem um alto nível de concentração. E para atingir metas de longo prazo, além do foco, é essencial criar hábitos.

Criar um hábito depende de quanto uma ação desperta um desejo para obter a recompensa. E, para a Psicologia, todo hábito requer a repetição de um ciclo como demonstrado no seguinte esquema:

Figura 1 – Ciclo do hábito.

Ou seja, segundo esse esquema, quanto mais frequente for esse “gatilho”, mais fácil de manter a rotina para obter a recompensa.

No livro O poder do hábito de Charles Duhigg há o relato de um experimento feito com macacos pelo professor Wolfram Schultz, da Universidade de Cambridge, para determinar quando uma rotina passa a ser um hábito.

O que o professor Schultz concluiu é que quanto mais o cérebro consegue antecipar a sensação de recompensa mais chances de você criar um hábito.

Em termos atuais, poderíamos dar um exemplo do hábito de verificar o celular a todo momento. Tente lembrar em quais momentos que você costuma fazer isso com mais frequência: será que é quando está entediado ou entediada? Quando vai realizar uma tarefa muito monótona? Ou ainda quando está tentando fazer algo muito difícil e ao mesmo tempo pouco estimulante?

E por que isso acontece? Por uma razão simples: o seu cérebro consegue antecipar a sensação de recompensa ao realizar certos tipos de atividades. Isso quer dizer que, quando o resultado demora mais do que o esperado, a sua tendência é desviar para outra que traga retorno mais rápido.

“Ah! Então é por culpa do meu cérebro que não consigo concluir projetos de longo prazo!”, você deve estar pensando. 

Figura 2 – o cérebro “festeiro”.

Calma, nem tudo está perdido. Podemos disciplinar esse cérebro “festeiro”, que adora captar uma dopamina* e viver o carpe diem (aproveitar o momento ou o presente). Mas, para isso, precisamos “driblá-lo” para que ele faça exatamente o que queremos.

*Dopamina é um neurotransmissor sintetizado por certas células nervosas que age em regiões do cérebro e está envolvido no controle dos movimentos, da emoção, da motivação e da sensação de prazer. (Sua ausência produz o tremor e a falta de controle motor observados na doença de Parkinson). 

Fonte: Dicionário Michaelis online

E a regra número 1 para concluir projetos de longo prazo é utilizar essa necessidade do cérebro de ter recompensas criando alguns hábitos de curto prazo.

Dica 1: divida uma tarefa grande em outras menores

Conforme mostrado no esquema da figura 1, para criar um hábito, é necessário criar o “gatilho” que estimule uma rotina para obter a recompensa. E para que esse hábito seja efetivo, quanto mais o seu cérebro conseguir antecipar a sensação de recompensa, mais chances de manter esse hábito.

Então, se você tem um projeto que demande muito tempo para obter resultados, tente criar pequenas metas para obter essa sensação de progresso.

Uma tática muito simples é criar algumas listas de tarefas. Há diversos tipos de aplicativos para esse fim como o Keep do Google, Asana ou Trello.

Nessas tarefas, você pode dividir em vários níveis: 

  1. Curtíssimo prazo (para resolver naquele dia);
  2. Curto prazo (resolver em uma semana);
  3. Médio prazo (para resolver em alguns meses);
  4. Longo prazo (objetivo final que pode ser concluído em alguns anos).

Dica 2: seja realista nos prazos

De nada adianta se as suas metas menores não conseguirem ativar o “gatilho” para manter a rotina para obter a recompensa esperada. Por isso, seja realista e tente criar mecanismos de pequenas recompensas que te leve ao objetivo final.

Por exemplo, eu tinha muita dificuldade para tornar a corrida um hábito em minha vida. Mas, o meu erro foi colocar metas surreais para uma pessoa que mal aguentava correr 100 m de distância. Eu achava que com poucos meses de treino intenso, seria capaz de correr como a Vallery Mello.

O que eu demorei para entender é que não era a quantidade de vezes, mas a constância dessas atividades é que me deixaria mais próxima do objetivo. Melhor correr duas vezes por semana religiosamente do que correr cinco dias da semana e depois ficar meses sem treinar.

E, assim, depois de cinco anos desde que comecei a correr, finalmente consegui participar de uma prova de rua:

Dica 3: registre o seu progresso dessas pequenas metas

No post sobre “como organizar os estudos” comentei sobre o termo Falácia do Planejamento cunhado por Daniel Kahneman e Amos Tversky. Isso significa que o nosso cérebro é muito ruim de fazer estimativas.

Por isso, tente manter um registro do progresso de seus projetos por meio desses aplicativos que citei anteriormente ou por outros específicos de acordo com a sua meta. Observando as suas tarefas sendo concluídas, seu cérebro entenderá que manter aquela rotina vale a pena e assim conseguir manter o hábito.

Dica 4: tenha como hábito criar novos projetos

E depois que você praticar todas essas três dicas iniciais, e conseguir atingir os objetivos de longo prazo, acabaram-se os projetos? Nada disso! Por que não tornar um hábito criar novas metas?

Uma coisa que eu tornei como hábito é aprender algo novo a cada ano. Não importa se ele é apenas um hobbie ou faça parte da sua profissão. O importante é estimular o seu cérebro com habilidades pouco estimuladas antes.

Por que isso é importante? O fato de você sempre ter novas metas de longo prazo estimula a parte do seu cérebro que o Daniel Kahneman chama de sistema 2*, que é a parte do cérebro que pensa mais devagar. Ou seja, se você estimular esse sistema mais devagar, vai conseguir manter hábitos de longo prazo.

*Este termo foi amplamente divulgado por Kahneman, mas originalmente foi cunhado por Keith Stanovich e Richard West.

É assim que algumas pessoas conseguem concluir metas de longo prazo como poupar dinheiro, especializar-se em alguma área e concluir projetos que envolvem muitas pessoas ou etapas.

Dica 5: slow and steady (devagar e constante)

E a última dica que deve se tornar um “mantra” em sua vida é “devagar e constante”.

Essa frase ouvi do Ronald, um guia turístico da Peru Treks que nos acompanhou na trilha Inca que fizemos em 2018 para chegar em Machu Picchu.

Trilha Inca para Machu Picchu (Percurso total: 42 km).
Crédito da imagem: acervo pessoal.

Para quem não sabe, para chegar em Machu Picchu por meio dessa trilha, precisamos passar por áreas de altas altitudes (mais de 4.000 m acima do nível do mar). E, quanto mais alto fica, mais difícil de respirar, pois nosso corpo não consegue absorver a mesma quantidade de oxigênio comparado a quando estamos próximos do nível do mar (e some a isso o fato de carregar uma mochila de 15 kg nas costas e tendo que caminhar uns 15 km por dia).

Como forma de incentivar a nossa caminhada, Ronald sempre dizia ao nosso grupo: “slow and steady”. Ele sempre nos tranquilizava dizendo que o mais importante é chegar em boas condições no destino, sem se machucar ou passando mal.

E essa frase virou um “mantra” para mim desde então. Para tudo que eu preciso fazer, tenho uma certa ansiedade para terminar as coisas de forma rápida e acabo me frustrando por não chegar no objetivo depressa. Assim como foi com a corrida.

Mas, o mais importante é que você tenha resiliência para manter o hábito do que chegar rapidamente nos resultados. E não se frustre se tiver que recomeçar em algum momento, pois isso também faz parte do aprendizado. O importante é não desistir.

Deixe nos comentários qual foi o projeto de longo prazo mais difícil de cumprir em sua vida e como você conseguiu completá-lo.

Veja também o vídeo com os principais pontos deste assunto:

Como desenhar usando a lógica

E como adaptar esse jogo para familiarizar-se com o plano cartesiano

Publicado em 15/05/2020 por Luzia Kikuchi

Uma das coisas que eu sempre tive pavor na escola é a aula de Educação Artística. E não porque a aula era ruim, mas por minha falta de habilidade mesmo. Só me dava bem quando as atividades tinham passo a passo bem definido. Nos momentos que a professora dizia:

“Hoje é desenho livre!”

Essas quatro palavras ecoavam em minha cabeça como “prova surpresa!”. Um pavor instaurava-se dentro de mim, o sangue do rosto rapidamente caía e não fazia ideia do que fazer. Acredite: eu preferia resolver problemas de matemática a fazer desenho livre. Normalmente, meus desenhos limitavam-se a uma casinha ou a um desenho de praia com um triste coqueiro ao lado.

Eu não sei exatamente a partir de qual momento que perdi o interesse ou a afinidade com desenho. Já que, segundo a minha mãe, eu sempre gostei muito de desenhar quando criança. Por outro lado, meu irmão sempre foi muito talentoso para esse lado artístico, mas nunca ligou muito para as Ciências Exatas, ao contrário de mim.

Se pensarmos por um lado, desenhar também tem o seu lado abstrato como as incógnitas e variáveis em Matemática. Então, será que haveria alguma forma de criar um algoritmo para um desenho como nos problemas matemáticos?

Para minha surpresa, existe. Claro que é um desenho mais simples, em formato de pixels (parecido com o conceito de Lego ou Minecraft), mas que pode ser uma forma de unir as habilidades daquele seu amigo ou amiga que ama desenhar com a sua que adora resolver problemas de lógica ou vice-versa.

Este jogo chama-se nonogram que consiste em uma imagem formada ao pintar quadradinhos indicados por uma sequência de números em um diagrama, como este:

Figura 1 – Exemplo de um nonogram.
Crédito da imagem: acervo pessoal.

Como funciona o jogo:

  1. Para cada linha e coluna, há uma sequência de quadradinhos a serem pintados de acordo com o número indicado em cada uma delas.
  2. Se um quadradinho já estiver pintado, você precisa completar de onde ele está:
Figura 3 – Pinto os quadradinhos restantes.
  1. Quando há mais de um número indicado na linha ou coluna, você precisa deixar pelo menos um quadradinho em branco entre eles, e sempre exatamente na ordem em que aparecem.
Figura 4 – Exemplo de como pintar a indicação de dois números.

Combinando a contagem entre linhas e colunas:

Observe agora o seguinte exemplo com linhas e colunas pintadas de acordo com a sequência indicada:

Figura 5 – Exemplo de um desenho de uma tartaruga

E como vou jogar isso?

  • Mínimo em 2 pessoas:
  1. Primeiro pegue um papel quadriculado e combine entre vocês qual deve ser o tamanho do diagrama que vão criar (número de linhas e colunas).
  2. Decida quem vai ser a pessoa que vai desenhar no quadriculado (jogador 1) enquanto a outra (jogador 2) deve reproduzi-lo usando apenas a lógica.
  3. Assim que o jogador 1 terminar de desenhar, ele deve montar um outro diagrama de tamanho igual, sem o desenho, mas indicando apenas os números que cada linha e coluna devem ser pintados, como demonstrado na figura 5.
  4. O jogador 2 recebe um diagrama semelhante à figura 1 do jogador 2 e tenta reproduzir o desenho usando a lógica explicada nas instruções anteriores.

Dicas: 

  • Tente desenhar com larguras e comprimentos iguais no início, pois figuras simétricas são sempre mais fáceis de desenhar.
  • Evite figuras com símbolos muito abstratos ou com apenas 1 quadrado em cada aresta, pois corre o risco de criar figuras ambíguas, portanto, com mais de uma solução.
  • Também evite figuras muito óbvias (crucifixo, por exemplo), pois isso acaba com o desafio lógico.

Conforme você se acostuma, pode aumentar a dificuldade, aumentando o tamanho do quadriculado e chegar em um parecido com este, por exemplo:

Crédito da imagem: Wikipedia

Viu só! Até quem não tem habilidades artísticas pode reproduzir desenhos usando a lógica! 😂

Se você não tiver uma folha quadriculada em casa, mas tiverem impressora, pode imprimir o modelo que deixei pronto no Excel. A priori deixei pronto um tamanho de 30 colunas e 50 linhas, mas você pode recortar o excedente ou aumentar conforme necessário (só não se esqueça do tamanho dos limites de impressão configurada em sua impressora).

Se você quiser jogar a versão online indico o nonograms.org que tem muitos quebra-cabeças de vários níveis (inclusive na versão colorida). Se for para jogar no tablet ou no celular o nonogram.com está disponível tanto para Android quanto para o iPhone.

Como posso utilizar esse jogo para introduzir/familiarizar-se com a ideia de plano cartesiano?

Normalmente, nos *anos finais do Ensino Fundamental, os estudantes começam a trabalhar com o sistema de coordenadas que é um pré-requisito para compreender o conteúdo de Geometria Analítica no Ensino Médio. No entanto, muitos têm dificuldade em entender o plano na representação matemática (eixo x, eixo y, abscissa e ordenada, par ordenado, etc.).

* Embora a BNCC (Base Nacional Comum Curricular) indique que o plano cartesiano deve ser introduzido já no 5º ano do Ensino Fundamental, na prática, a compreensão do sistema de coordenadas ocorre nos anos finais dessa faixa de ensino.

Por isso, aplicando esse jogo, conforme foi sugerido neste texto, mas na ordem reversa: desenhar primeiro e depois montar um plano com a sequência numérica, para que outra pessoa possa reproduzir o seu desenho, pode facilitar a compreensão do plano cartesiano sem a utilização da nomenclatura matemática que é um fator que cria muita aversão nos estudantes.

Por que isso pode ajudar na aprendizagem?

Nosso cérebro tem a capacidade de focalizar a atenção de forma involuntária e voluntária. No primeiro aspecto, seriam as necessidades fisiológicas, por exemplo, quando sentimos fome ou sede. Já na forma voluntária é quando você escolhe para onde voltar a sua atenção, por exemplo, para escutar uma música, para escrever ou para executar alguma atividade.

Portanto, quando o indivíduo está ativamente tentando construir esse diagrama do jogo, inconscientemente, ele está associando a ideia de eixos, coordenadas, mas sem a conotação matemática de forma inicial. Diferentemente de quando ele é apresentado ao plano cartesiano, muitas vezes de forma passiva, com explicação expositiva do professor, tornando a associação dos conceitos mais demorada. (Lembre-se do conceito de aprendizagem significativa que apresentei em um post anterior).

Além disso, ao desenhar e exercitar o raciocínio lógico, diferentes porções do nosso córtex cerebral são despertados, ativando circuitos para ativar funções como a linguagem, a memória e etc. E, por isso, ao ter contato prévio com as ideias similares ao eixo de coordenadas, fica mais fácil compreender as definições do plano cartesiano e, assim, aprender as nomenclaturas técnicas passa a ser uma questão pontual a ser resolvida.

Para entender um pouco mais sobre o funcionamento do nosso cérebro e como funciona o processo de aprendizagem, recomendo este livro:

Título: Neurociência e educação – como o cérebro aprende
Autores: Ramon M. Cosenza e Leonor B. Guerra
Editora: Artmed
Crédito da imagem: http://www.amazon.com.br

Obviamente, não há uma garantia absoluta de que todos aprenderão dessa forma, pois cada pessoa tem sua individualidade na aprendizagem. Mas, ao tentar despertar diferentes tipos de habilidades, há mais chances de proporcionar a aprendizagem para variados grupos de pessoas. 

Outras sugestões de atividades para introduzir o conceito de plano cartesiano e sistema de coordenadas:

  • Batalha naval;
  • Mapas e plantas;
  • Bingo;
  • Planilha do Excel;
  • Atividade de ponto cruz;
  • Criar desenhos com miçangas.

Fora essas atividades, também é possível trabalhar com softwares de geometria dinâmica como o Geogebra ou Winplot, entre os mais conhecidos, mas há outros similares.

Essas são algumas inspirações para quem está tentando aprender ou ensinar o plano cartesiano e o sistema de coordenadas. Se você tiver interesse que eu proponha mais atividades detalhadas utilizando algumas delas, deixe nos comentários

Desafio: Qual é o desenho que fiz na figura 1? Deixe a resposta nos comentários!

Se você quiser ver o passo a passo da montagem do diagrama e da resolução do nonogram, assista ao nosso vídeo!

A história do nonogram

nonogram foi criado no Japão, na década de 80, aparentemente, por dois criadores: Tetsuo Nishiya e Non Ishida, que tiveram a ideia na mesma época de formas distintas.

Ishida acabou ganhando fama no Reino Unido, por ter sido descoberto por um colecionador de quebra-cabeças britânico chamado James Dalgerty, que levou a ideia para o seu país e passou a ser publicado no jornal The Sunday Telegraph. E assim, o jogo ganhou o nome de “diagrama de Non” (Non+dia’gram = nonogram). Por outro lado, Nishiya ganhou fama dentro do Japão, pela sua invenção, com o nome Puzzler (パズラー).

Esse quebra-cabeças possui diversos nomes além desses dois como:

  • Illust Logic (ilustração com lógica);
  • Oekaki Logic (desenho com lógica);
  • Picross (jogo lançado pela Nintendo);
  • Griddler;
  • Pictograph;
  • Japanese Crossword (quebra-cabeças japonês);
  • Hanjie;
  • Nemonemo Logic. 

Fontes: Yodosha (em japonês) e DCC da Universidade de Lancaster.

Como escrever um projeto de pesquisa – um passo a passo

Publicado em 08/05/2020 por Luzia Kikuchi

Uma dúvida frequente que eu recebo de alunos e colegas que pretendem ingressar em um mestrado ou doutorado é “como você escreveu seu projeto de pesquisa? ”.

O mais recomendado é consultar as normas de cada faculdade, que podem ter as suas particularidades para apresentação de determinados itens do projeto, mas normalmente elas seguem as instruções gerais da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Essas recomendações também valem para propostas de TCC (Trabalhos de Conclusão de Curso) e de IC (Iniciação Científica).

O que eu percebi é que, embora essas instruções estejam disponíveis para o público, muitos têm dúvidas de como o que escrever em cada um desses itens no projeto.

Portanto, a minha ideia neste post é apresentar um pouco o “caminho das pedras” para escrever cada item de uma proposta de projeto de pesquisa. 

Para ficar um pouco mais didático, peguei como exemplo o *roteiro do projeto de pesquisa apresentado para o ingresso no programa de mestrado ou doutorado da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo (FEUSP) e explicá-lo item por item. Você pode clicar no item que quiser consultar diretamente a seguir:

  1. Projeto de Pesquisa redigido em língua portuguesa, sem identificação de autoria, com no máximo 20 páginas numeradas, em espaço 1½, letra Times New Roman, tamanho 12, contendo: 

*Essas informações estão disponíveis no site http://www4.fe.usp.br/pos-graduacao/processo-seletivo no item “editais”. A referência que usei para escrever este texto foi o edital do processo seletivo de 2019/2020.

  1. Idioma, autoria e apresentação gráfica

Para quem é brasileiro e pretende ingressar em um programa de pós-graduação no Brasil, parece óbvio que o idioma tenha que ser em língua portuguesa. Porém, em algumas universidades, que recebem muitos estrangeiros, são aceitos idiomas diferentes do oficial daquele país, tais como: inglês, espanhol ou francês que são amplamente usados no meio acadêmico.

Por que se pede para deixar sem identificação de autoria?

É muito importante que você não coloque nenhum elemento que possa induzir a identificação do autor em seu texto, muito menos, colocar o seu nome no início (como muita gente faz ao entregar um trabalho). Seu projeto pode ser reprovado por não se atentar a esse item, se está explícito no edital que não se deve fazer a identificação.

Isso é para garantir a isonomia (tratamento igual entre as pessoas perante a lei) do processo seletivo e não criar nenhum tipo de privilégio entre os candidatos.

Esse tipo de procedimento também é utilizado em provas de concursos públicos nas quais o candidato é identificado apenas pelo código de inscrição.

A importância da apresentação gráfica e o limite de páginas:

Obviamente, o conteúdo que está no seu projeto é a parte mais importante. Porém, é indispensável que a apresentação de seu texto também seja agradável para os olhos de quem lê (ainda mais numa situação como essa na qual os examinadores precisam ler muitos projetos em seguida). Por isso, tome bastante cuidado com a apresentação gráfica do seu texto, seguindo as normas da ABNT ou das diretrizes específicas de cada instituição.

Aqui listo algumas diretrizes segundo a ABNT:

Fonte:

Utilizar a fonte Times New Roman ou Arial, tamanho 12, para o texto principal. Em documentos acadêmicos, é recomendado o uso dessas configurações, na ausência de indicação explícita.

Para citações de mais de três linhas, notas de rodapé, paginação, ficha catalográfica, legendas e fontes das ilustrações e das tabelas, o tamanho da fonte deve ser menor: 10 ou 11.

No caso do projeto de pesquisa da FEUSP, pede-se a fonte Times New Roman.

Espaçamento e alinhamento:

O espaçamento entrelinhas do seu texto principal deve ser de 1,5. Antigamente, os projetos da FEUSP pediam espaçamentos entrelinhas duplo, mas, aparentemente deve ter sido padronizado de acordo com a ABNT.

Para outros elementos como: citações de mais de três linhas, notas de rodapé, legendas e fontes das ilustrações e das tabelas, ficha catalográfica, a natureza do trabalho, objetivo, nome da instituição a que é submetido e a área de concentração, deve-se usar o espaçamento simples.

Embora não esteja explícito no projeto, recomenda-se utilizar o alinhamento justificado para textos acadêmicos e, principalmente, para impressos.

Nas referências, usa-se apenas um espaço simples em branco para diferenciar uma obra da outra. Aqui também deve-se usar o espaçamento simples, mas com alinhamento à esquerda.

Limite de páginas (não especificado na ABNT):

Não sei exatamente o quanto o número máximo de páginas pode influenciar na decisão de um projeto ser aprovado ou reprovado, desde que ele esteja bem escrito (obviamente, se você ultrapassar muito, com certeza há mais chance de ser reprovado). Mas, regra é regra, então é sempre bom respeitá-la. No caso da FEUSP, pede-se o limite máximo de 20 páginas numeradas (ou seja, o número das páginas deve aparecer no seu documento). Esse quesito também precisa ser analisado de acordo com a instituição.

Agora vamos entrar de fato no conteúdo do projeto:

Embora o resumo seja o primeiro item que apareça no texto, recomendo que ele seja escrito por último. É mais fácil saber quais são os itens mais importantes depois que o seu texto estiver completo.

Aqui também deve ser respeitado o número máximo de linhas, de acordo com a instituição. A FEUSP pede o limite de 20 linhas.

Outra dica importante ao fazer o resumo é: evite pegar trechos literais do texto. Por exemplo, muitas pessoas fazem o resumo “recortando” trechos do texto principal, mas isso não é recomendado. Lembre-se que o resumo é a sua “vitrine” e precisa chamar a atenção do leitor para que ele se interesse em ler o texto completo. Nada mais desagradável do que ler um texto que parece um “frankenstein”, sem coesão. Portanto, dê atenção especial a ele, escrevendo um texto com começo, meio e fim, ainda que seja em poucas linhas.

Por ser uma proposta de projeto de pesquisa que você ainda vai desenvolver, a função principal da introdução é apresentar qual o tema, de forma delimitada, a problematização sobre o assunto, apresentar algumas hipóteses para serem respondidas no final do estudo, para depois entrar na justificativa na qual explicará a relevância de desenvolver esta pesquisa.

Para começar a escrever a introdução do seu texto, você precisa ter em mente os seguintes aspectos:

  • Introdução: Escolhendo o tema e a delimitação da pesquisa

Comece o texto dando um contexto do tema que você gostaria de pesquisar. 

Por exemplo, imagine que o tema de seu interesse seja a aprendizagem em Matemática. Porém, podemos falar de inúmeros aspectos envolvendo esse tema e a sua pesquisa não será capaz de responder todos.

Então, você deve delimitar quais quer analisar, afunilando aos poucos até conseguir chegar a um problema de pesquisa. 

Alguns tópicos que poderiam estar relacionados a esse tema que apresentei como exemplo seria: dificuldade ou facilidade na aprendizagem de Matemática? Analisar o aluno ou o professor? Qual faixa de ensino você quer investigar? Entre outros.

No meu caso, quando comecei a lecionar Matemática, me intrigou os erros comuns cometidos pelos alunos que começam a resolver problemas algébricos, tipicamente, alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental.

  • Introdução: Escolha da problemática

Após delimitar o tema, é hora de pensar na problemática a ser tratada. Idealmente, você deve escolher algo que te incomoda ou que te desperta curiosidade. E para isso você deve formular algumas perguntas para responder ao seu problema.

Algumas perguntas que poderiam ser formuladas na temática que usei como exemplo anteriormente são:

  1. Os erros podem ser utilizados como ferramentas didáticas para o ensino de Matemática?
  2. Por que os alunos têm dificuldade para compreender a linguagem algébrica?
  3. O que o erro pode revelar em termos de aprendizagem em Matemática?
  4. Quais áreas correlatas podem ajudar a compreender as dificuldades de aprendizagem da linguagem algébrica e quais contribuições elas trazem para a prática da sala de aula? 

Escolhendo o tema e a problemática, agora você precisa começar a pesquisar os estudos relacionados a esse assunto (que é conhecido também como um levantamento bibliográfico). Este levantamento é importante para saber se a sua problemática é uma preocupação relevante e também para saber se alguém já não respondeu ao seu problema.

Um detalhe importante: tente filtrar, nas suas bases de pesquisa, os trabalhos dos últimos quatro ou cinco anos sobre o tema, para garantir os estudos mais atuais sobre esse tema e se for um assunto que tem bastante regularidade na publicação. E também depende da natureza de sua pesquisa que requer a consulta de documentos antigos, por exemplo.

Mas, como eu faço para encontrar as pesquisas sobre o meu tema?

Você pode usar tanto o Google scholar quanto o Portal de periódicos da Capes. Cada um tem suas vantagens e desvantagens que vou listar a seguir:

Google Scholar ou Google Acadêmico

Crédito da imagem: google.scholar.com.br

Vantagens:

  1. Encontrar trabalhos acadêmicos relacionado ao tema;
  2. Acesse a trechos de livros que tratam sobre o tema de acordo com as palavras-chave digitadas na busca. Assim, você pode ter chance de encontrar um livro que seja importante para a sua pesquisa.

Desvantagens:

  1. A forma que o Google apresenta os dados de busca tem muita influência de acordo com o perfil de usuário. 
  2. Nem sempre os resultados apresentados são os estudos mais relevantes sobre o assunto.

Portal de periódicos da Capes

Crédito da imagem: www.periodicos.capes.gov.br

Vantagens: 

  1. Encontra trabalhos tanto acadêmicos quanto publicados em periódicos, de acordo com a palavra-chave pesquisada e não tem influência com os dados de navegação do usuário. 
  2. Os periódicos indexados passaram por uma curadoria da equipe técnica da CAPES (ou Qualis CAPES), portanto, são de base relevante.
  3. As palavras-chave utilizadas para a sua busca são reproduzíveis por qualquer pessoa. Isso quer dizer que, se você faz uma busca utilizando certas palavras-chave e o seu colega fizer exatamente a mesma busca, também encontrará os mesmos resultados. Isso é muito importante para fazer um trabalho de revisão bibliográfica, por exemplo.

Desvantagens: 

  1. Alguns periódicos, principalmente os internacionais, podem cobrar para acessar o texto completo.
  2. No entanto, se você tiver o **login de alguma *instituição participante do programa poderá acessar a grande parte desses periódicos principais.

* Segundo informações coletadas no próprio site da CAPES, as instituições participantes enquadram-se em algum dos seguintes perfis:

I – Instituições federais de ensino superior;

II – Unidades de pesquisa com pós-graduação, avaliadas pela CAPES com nota 4 (quatro) ou superior;

III – Instituições públicas de ensino superior estaduais e municipais com pós-graduação avaliadas pela CAPES com nota 4 (quatro) ou superior;

IV – Instituições privadas de ensino superior com pelo menos um doutorado com avaliação 5 (cinco) ou superior pela CAPES;

V – Instituições com programas de pós-graduação recomendados pela CAPES e que atendam aos critérios de excelência definidos pelo Ministério da Educação (MEC).

Fonte: CAPES

** Caso você não pertença a nenhuma dessas instituições citadas, pode optar por procurar uma instituição pública mais próxima de você, que se enquadre em algum desses perfis, e acessar pelo computador da biblioteca dela. Consulte na biblioteca da respectiva instituição para as normas de acesso.

  • Introdução: Elaboração das hipóteses 

Depois de fazer uma pesquisa nessas bases de conhecimento, você já terá verificado se o seu tema e a problematização têm fundamento e é algo relevante para ser pesquisado (mas, espere um pouco para explicar esse item, pois ainda não entramos na justificativa). Então, como você acha que os seus problemas podem ser respondidos? Essa é a hipótese do seu problema.

A hipótese é uma “suposição” de como resolver o seu problema. Pode ser mais de uma e é ela que dará a direção para responder ao seu problema no fim da pesquisa.

Novamente, no tema que dei como exemplo, vamos supor que eu queira trabalhar com a problemática de número 4 (Quais áreas correlatas podem ajudar a compreender as dificuldades de aprendizagem da linguagem algébrica e quais contribuições elas trazem para a prática da sala de aula?). A minha hipótese é de que seria a Psicologia Cognitiva aplicada à aprendizagem de Matemática seria uma das áreas que poderiam ajudar a compreender essas dificuldades na aprendizagem de linguagem algébrica. Então, no meu levantamento bibliográfico, devo trazer alguma referência na área de Psicologia Cognitiva ou estudos que apontem esses resultados para que eu possa ter ferramentas para analisar as minhas problemáticas.

Lembrando que é muito importante levar em consideração o tempo de execução de acordo com o seu projeto (IC, TCC, Mestrado, Doutorado, etc.) para a escolha da hipótese para a sua pesquisa.

Então, seguindo o modelo da FEUSP, esse seria o final da sua introdução e em seguida escreverá a justificativa.

  • Justificativa

Nessa parte, você deve explicar por que a sua pesquisa tem relevância, usando, se possível, dados estatísticos de órgãos governamentais ou da própria literatura científica mostrando que é um problema que precisa ser discutido na área que você delimitou como tema.

A justificativa da relevância para uma pesquisa não pode ser validada apenas porque você acha importante ou acredita em algo.

Esse embasamento é importante para validar a sua pesquisa como um estudo científico, ou seja, a sua contribuição deverá ajudar outros pesquisadores a replicarem o mesmo estudo e chegar às mesmas conclusões.

Neste item, você tentará resumir em poucas palavras, de acordo com o tema, a problematização, as hipóteses que quer responder e de acordo com a justificativa dada, o principal objetivo da sua pesquisa. 

Outro ponto importante é que o objetivo precisa ser compatível com o tipo e tempo de execução do projeto. Nada de projetos de “salvação do mundo”, como: “meu objetivo é acabar com o analfabetismo no país”. Ok, isso pode ser parte de um projeto de Políticas Públicas para a Educação, mas você sozinha ou sozinho não conseguirá fazer isso apenas com a sua pesquisa. Assim, tente usar verbos como “compreender”, “estudar”, “analisar” ou “comparar”.

Dependendo da característica do seu projeto (experimental ou teórico) a descrição desse item pode variar muito. Mas, em linhas gerais, o que você precisa expor neste item são as formas que pretende fazer a coleta de dados para responder às perguntas de sua problemática.

Por exemplo, suponha que você tenha encontrado um estudo que mostrou um questionário aplicado com os alunos para analisar os erros cometidos pelos estudantes em problemas de Álgebra do Ensino Fundamental. Esse poderia ser um dos materiais que utilizará para analisar os seus dados. Mas, seria necessário definir com qual grupo de estudantes, o tipo de escola, que tipo de critério você vai utilizar para escolher esses estudantes, etc.

Obviamente, por tratar-se de uma proposta inicial, alguns métodos podem mudar durante o andamento da pesquisa. E não tem problema mencionar isso no projeto. Porém, quanto mais encaminhado este item já estiver, mais fácil será o seu estudo no futuro.

Neste item entram os quesitos do tipo de análise que fará com os dados coletados. Por exemplo, se será uma pesquisa qualitativa ou quantitativa? Se você coletou os questionários dos alunos, como você vai classificar os erros encontrados? Além do questionário, se vai comparar com mais algum material adicional que tenha coletado no item citado anteriormente em material e métodos? E qual a correlação que fará com esses dois materiais?

E o mais importante é que essas análises possam ter um apoio teórico-metodológico para interpretação dos dados. Eventualmente, você pode citar que essa referência será escolhida futuramente e não tem problema se encontrar uma outra melhor durante o andamento de sua pesquisa, pois será explicado em sua dissertação ou tese o motivo da mudança.

Aqui você deve apresentar um calendário, por períodos, do que está previsto em cada fase da pesquisa. Segue um exemplo de um cronograma de projeto de doutorado com duração de quatro anos. Você pode alterar essa tabela de acordo com o número de itens do seu projeto e o tempo de execução.

Crédito da imagem: acervo pessoal

E, por último, você citará as obras e os documentos que foram usados para escrever o seu projeto de pesquisa. Provavelmente, essa lista virá a partir da sua consulta na base de conhecimento do item b.

Uma coisa muito importante é que TODAS as obras citadas em seu projeto devem aparecer aqui. Mas, nunca cite um documento que você não utilizou “só para fazer volume”.

A seguir vou explicar um pouco sobre a ordenação e os tipos de referências que podem existir:

Ordenação das referências

A forma de ordenar as referências pode ser tanto alfabética ou numérica. Quando é numérica, estará de acordo com a ordem que aparece no seu texto (essa forma é muito usada para quem redige no sistema LaTex – muito usada nas Ciências Exatas e Biológicas por conta da facilidade de edição de fórmulas matemáticas).

Tipos de referências

Quanto aos modelos da ABNT para referenciar os documentos, variam de acordo com o tipo: livros, publicações periódicas, patentes, documentos jurídicos, materiais especiais e documentos eletrônicos.

Para que este post não fique mais longo do que já está, sugiro consultar este manual de diretrizes para elaboração de teses e dissertações da Universidade de São Paulo (págs. 58 a 69). Essa é a versão atualizada em 2020.

Vale ressaltar que, existem outras formatações além da ABNT que são utilizadas para elaboração de documentos como ISO, APA, Vancouver que, mais uma vez, deve ser consultada de acordo com a instituição para onde você está enviando o seu projeto de pesquisa.

E, antes que eu me esqueça, lembra que eu falei para escrever o seu resumo por último? Não se esqueça de voltar para este item depois que estiver tudo finalizado, ok?

Conte aqui nos comentários, o que você mais tem dificuldade na hora de elaborar o seu projeto. E também qual desses itens anteriores você gostaria que eu explicasse com mais detalhes.

Recomendo também um livro muito bom para entender um pouco melhor sobre planejamento de pesquisa e que usei como referência para explicação deste post:

Título: Planejamento de pesquisa: uma introdução
Autor: Sérgio Vasconcelos de Luna
Editora: Educ
Crédito da imagem: amazon.com.br

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